Решение задачи по теме 2: Культура сбережений и основы финансовых вычислений

Практическое занятие по теме 2 «Культура сбережений и основы финансовых вычислений» Задача 1 Дано: \(P = 1\,000\,000\) руб. \(i = 7\% = 0,07\) \(n = 4\) года. Стоимость карты \(C = 30\,000\) руб. Решение: 1) Вариант с простой процентной ставкой: \[S_1 = P \cdot (1 + n \cdot i)\] \[S_1 = 1\,000\,000 \cdot (1 + 4 \cdot 0,07) = 1\,280\,000 \text{ руб.}\] 2) Вариант со сложной процентной ставкой и вычетом за карту: \[S_2 = P \cdot (1 + i)^n - C\] \[S_2 = 1\,000\,000 \cdot (1 + 0,07)^4 - 30\,000 = 1\,000\,000 \cdot 1,3108 - 30\,000 = 1\,280\,800 \text{ руб.}\] Сравнение: \(1\,280\,800 > 1\,280\,000\). Второй вариант выгоднее на 800 руб. а) Если \(n = 5\) лет: \[S_1 = 1\,000\,000 \cdot (1 + 5 \cdot 0,07) = 1\,350\,000 \text{ руб.}\] \[S_2 = 1\,000\,000 \cdot (1,07)^5 - 30\,000 = 1\,402\,551 - 30\,000 = 1\,372\,551 \text{ руб.}\] Второй вариант становится еще выгоднее. б) Если \(P = 500\,000\) руб. (\(n = 4\)): \[S_1 = 500\,000 \cdot (1 + 4 \cdot 0,07) = 640\,000 \text{ руб.}\] \[S_2 = 500\,000 \cdot (1,07)^4 - 30\,000 = 655\,398 - 30\,000 = 625\,398 \text{ руб.}\] При меньшей сумме выгоднее первый вариант (простые проценты), так как стоимость карты "съедает" доход. Задача 2 Дано: \(P = 500\,000\) руб., \(n = 3\) года. Банк 1: \(i_1 = 7,5\%\) (сложный процент ежегодно). Банк 2: \(i_2 = 7\%\) (ежемесячная капитализация). Решение: 1) Банк 1: \[S_1 = 500\,000 \cdot (1 + 0,075)^3 = 500\,000 \cdot 1,2423 = 621\,150 \text{ руб.}\] 2) Банк 2: \[S_2 = P \cdot (1 + \frac{i}{12})^{n \cdot 12}\] \[S_2 = 500\,000 \cdot (1 + \frac{0,07}{12})^{36} = 500\,000 \cdot (1,00583)^{36} \approx 616\,460 \text{ руб.}\] Ответ: Первый банк выгоднее. Задача 3 Дано: \(P_{auto} = 15\,000\) евро, \(i = 10\%\), \(n = 3\), рост цены \(r = 2\%\). Решение: 1) Новая стоимость авто: \[S = 15\,000 \cdot (1 + 0,02) = 15\,300 \text{ евро.}\] 2) Необходимая сумма вклада сегодня: \[P = \frac{S}{(1 + i)^n} = \frac{15\,300}{(1,1)^3} = \frac{15\,300}{1,331} \approx 11\,495,12 \text{ евро.}\] Ответ: Стоимость составит 15 300 евро, нужно положить 11 495,12 евро. Задача 4 Дано: \(P = 5\,000\,000\) руб., \(n = 3\), \(i = 24\%\). Обычно в таких задачах подразумевается расчет суммы к возврату в конце срока (простой процент, если не указано иное для ссуд физлицам в учебных целях): \[S = P \cdot (1 + i \cdot n) = 5\,000\,000 \cdot (1 + 0,24 \cdot 3) = 5\,000\,000 \cdot 1,72 = 8\,600\,000 \text{ руб.}\] Задача 5 Дано: \(CF_1 = 100\,000\), \(CF_2 = 150\,000\), \(CF_3 = 200\,000\), \(i = 7\%\). Решение (Дисконтирование): \[PV = \frac{CF_1}{(1+i)^1} + \frac{CF_2}{(1+i)^2} + \frac{CF_3}{(1+i)^3}\] \[PV = \frac{100\,000}{1,07} + \frac{150\,000}{1,1449} + \frac{200\,000}{1,225}\] \[PV = 93\,458 + 131\,016 + 163\,265 = 387\,739 \text{ руб.}\] Задача 6 Дано: \(P = 100\,000\), \(n = 2\), \(i = 8\%\), начисление 2 раза в год (\(m=2\)). Схема начисления: 1 полугодие: \(100\,000 \cdot (1 + 0,08/2) = 104\,000\) 2 полугодие: \(104\,000 \cdot 1,04 = 108\,160\) 3 полугодие: \(108\,160 \cdot 1,04 = 112\,486,4\) 4 полугодие: \(112\,486,4 \cdot 1,04 = 116\,985,86\) Итого: 116 985,86 руб. Задача 7 При ежеквартальном начислении (\(m=4\)): \[S = 100\,000 \cdot (1 + \frac{0,08}{4})^{2 \cdot 4} = 100\,000 \cdot (1,02)^8 = 100\,000 \cdot 1,1716 = 117\,165,9 \text{ руб.}\] Ответ: Капитал увеличится, так как проценты начисляются чаще. Задача 8 Вариант а): Аннуитет (по 1 млн в конце года). Приведем к текущему моменту: \[PV_a = 1 \cdot \frac{1 - (1,08)^{-3}}{0,08} = 1 \cdot 2,577 = 2,577 \text{ млн руб.}\] Вариант б): 3,5 млн в конце 3-го года. Приведем к текущему моменту: \[PV_b = \frac{3,5}{(1,08)^3} = \frac{3,5}{1,2597} = 2,778 \text{ млн руб.}\] Ответ: Вариант б) предпочтительнее, так как его современная стоимость выше.