Решение задачи: Культура сбережений и основы финансовых вычислений

Ниже представлено решение задач, оформленное для удобного переписывания в школьную тетрадь. Практическое занятие по теме 2 «Культура сбережений и основы финансовых вычислений» Задача 1 Дано: \(P = 1\,000\,000\) руб. \(i = 7\% = 0,07\) \(n = 4\) года \(C = 30\,000\) руб. (стоимость карты) Решение: 1) Вариант с простыми процентами: \[S_1 = P \cdot (1 + n \cdot i)\] \[S_1 = 1\,000\,000 \cdot (1 + 4 \cdot 0,07) = 1\,280\,000 \text{ руб.}\] 2) Вариант со сложными процентами и вычетом за карту: \[S_2 = P \cdot (1 + i)^n - C\] \[S_2 = 1\,000\,000 \cdot (1,07)^4 - 30\,000 = 1\,310\,796 - 30\,000 = 1\,280\,796 \text{ руб.}\] Сравнение: \(1\,280\,796 > 1\,280\,000\). Второй вариант выгоднее на 796 руб. а) При \(n = 5\) лет: \[S_1 = 1\,000\,000 \cdot (1 + 5 \cdot 0,07) = 1\,350\,000 \text{ руб.}\] \[S_2 = 1\,000\,000 \cdot (1,07)^5 - 30\,000 = 1\,402\,552 - 30\,000 = 1\,372\,552 \text{ руб.}\] Выгоднее второй вариант. б) При \(P = 500\,000\) руб. (\(n = 4\)): \[S_1 = 500\,000 \cdot (1 + 4 \cdot 0,07) = 640\,000 \text{ руб.}\] \[S_2 = 500\,000 \cdot (1,07)^4 - 30\,000 = 655\,398 - 30\,000 = 625\,398 \text{ руб.}\] Выгоднее первый вариант. Задача 2 Дано: \(P = 500\,000\) руб., \(n = 3\) года. Банк 1: \(i_1 = 7,5\%\) (простой процент ежегодно). Банк 2: \(i_2 = 7\%\) (ежемесячная капитализация). Решение: 1) Банк 1: \[S_1 = 500\,000 \cdot (1 + 3 \cdot 0,075) = 500\,000 \cdot 1,225 = 612\,500 \text{ руб.}\] 2) Банк 2: \[S_2 = P \cdot (1 + \frac{i}{12})^{n \cdot 12}\] \[S_2 = 500\,000 \cdot (1 + \frac{0,07}{12})^{36} \approx 500\,000 \cdot 1,2329 = 616\,450 \text{ руб.}\] Ответ: Второй банк выгоднее. Задача 3 Дано: \(P_{auto} = 15\,000\) евро, \(i = 10\%\), \(n = 3\), рост цены \(r = 2\%\). Решение: 1) Стоимость авто через 3 года: \[S = 15\,000 \cdot (1 + 0,02) = 15\,300 \text{ евро.}\] 2) Необходимая сумма вклада сегодня: \[P = \frac{S}{(1 + i)^n} = \frac{15\,300}{(1,1)^3} = \frac{15\,300}{1,331} \approx 11\,495,12 \text{ евро.}\] Ответ: Стоимость — 15 300 евро, положить нужно 11 495,12 евро. Задача 4 Дано: \(P = 5\,000\,000\) руб., \(n = 3\) года, \(i = 24\%\). Решение: \[S = P \cdot (1 + i \cdot n)\] \[S = 5\,000\,000 \cdot (1 + 0,24 \cdot 3) = 5\,000\,000 \cdot 1,72 = 8\,600\,000 \text{ руб.}\] Ответ: 8 600 000 руб. Задача 5 Дано: \(CF_1 = 100\,000\), \(CF_2 = 150\,000\), \(CF_3 = 200\,000\), \(i = 7\%\). Решение: \[PV = \frac{100\,000}{1,07} + \frac{150\,000}{(1,07)^2} + \frac{200\,000}{(1,07)^3}\] \[PV = 93\,458 + 131\,016 + 163\,265 = 387\,739 \text{ руб.}\] Ответ: 387 739 руб. Задача 6 Дано: \(P = 100\,000\) руб., \(n = 2\) года, \(i = 8\%\), начисление 2 раза в год. Решение: 1 полугодие: \(100\,000 \cdot (1 + 0,04) = 104\,000\) руб. 2 полугодие: \(104\,000 \cdot 1,04 = 108\,160\) руб. 3 полугодие: \(108\,160 \cdot 1,04 = 112\,486,4\) руб. 4 полугодие: \(112\,486,4 \cdot 1,04 = 116\,985,86\) руб. Ответ: 116 985,86 руб. Задача 7 Решение: При ежеквартальном начислении (\(m=4\)): \[S = 100\,000 \cdot (1 + \frac{0,08}{4})^{2 \cdot 4} = 100\,000 \cdot (1,02)^8 \approx 117\,165,94 \text{ руб.}\] Ответ: Величина капитала увеличится (на 180,08 руб.), так как частота капитализации выше. Задача 8 Решение: Приведем оба варианта к текущей стоимости (PV) при \(i = 8\%\): а) \(PV_a = \frac{1}{1,08} + \frac{1}{(1,08)^2} + \frac{1}{(1,08)^3} = 0,926 + 0,857 + 0,794 = 2,577 \text{ млн руб.}\) б) \(PV_b = \frac{3,5}{(1,08)^3} = \frac{3,5}{1,2597} = 2,778 \text{ млн руб.}\) Ответ: Вариант б) предпочтительнее.