Решение задачи 3: Критерий Стьюдента

Задача 3. Дано: \[ a_0 = 60 \] \[ \bar{x} = 64 \] \[ s_1 = 6 \] \[ n = 10 \] \[ \alpha = 0,05 \] (уровень значимости 5%) Решение: 1. Сформулируем гипотезы: Нулевая гипотеза \( H_0: a = a_0 = 60 \) (математическое ожидание равно заданному значению). Конкурирующая гипотеза \( H_1: a \neq 60 \) (двусторонняя критическая область). 2. Так как дисперсия генеральной совокупности неизвестна и объем выборки мал (\( n < 30 \)), для проверки гипотезы используем критерий Стьюдента. Вычислим наблюдаемое значение критерия по формуле: \[ T_{набл} = \frac{(\bar{x} - a_0) \cdot \sqrt{n}}{s_1} \] Подставим числовые значения: \[ T_{набл} = \frac{(64 - 60) \cdot \sqrt{10}}{6} = \frac{4 \cdot 3,162}{6} \approx \frac{12,648}{6} \approx 2,108 \] 3. Найдем критическую точку по таблице распределения Стьюдента. Для двусторонней критической области при уровне значимости \( \alpha = 0,05 \) и числе степеней свободы \( k = n - 1 = 10 - 1 = 9 \): \[ t_{крит}(0,05; 9) \approx 2,262 \] 4. Сравним наблюдаемое значение с критическим: Так как \( |T_{набл}| < t_{крит} \) (\( 2,108 < 2,262 \)), то наблюдаемое значение попадает в область допустимых значений. Ответ: На уровне значимости 5% нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Различие между выборочным средним и гипотетическим математическим ожиданием статистически незначимо. Гипотеза о том, что \( a_0 = 60 \) является математическим ожиданием, принимается.