Решение задачи №11: Расчет напряжения в мосте Уитстона

Задача №11 Дано: \( U_{AD} = 5 \, \text{В} \) \( R_1 = R_2 = R_3 = R \) \( R_x \in [R; 2R] \) Отклонение номиналов \( R_1 \) и \( R_3 \): \( \delta = \pm 10\% \) Найти: \( \Delta U_{CB} \), шкалу вольтметра. Решение: 1. Напряжение на диагонали моста \( U_{CB} \) определяется как разность потенциалов в точках C и B относительно точки D (или A). Рассмотрим делители напряжения: Левая ветвь (точки A-C-D): \[ \phi_C = U_{AD} \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2} \] Правая ветвь (точки A-B-D): \[ \phi_B = U_{AD} \cdot \frac{R_3}{R_x + R_3} \] Напряжение вольтметра: \[ U_{CB} = \phi_C - \phi_B = U_{AD} \cdot \left( \frac{R_2}{R_1 + R_2} - \frac{R_3}{R_x + R_3} \right) \] 2. Рассчитаем идеальное значение \( U_{CB} \) при номинальных значениях \( R_1=R_2=R_3=R \): \[ U_{CB} = 5 \cdot \left( \frac{R}{R + R} - \frac{R}{R_x + R} \right) = 5 \cdot \left( \frac{1}{2} - \frac{R}{R_x + R} \right) \] При \( R_x = R \): \( U_{CB} = 5 \cdot (0,5 - 0,5) = 0 \, \text{В} \). При \( R_x = 2R \): \( U_{CB} = 5 \cdot (0,5 - 1/3) = 5 \cdot (1/6) \approx 0,833 \, \text{В} \). 3. Определим максимальную абсолютную погрешность \( \Delta U_{CB} \) из-за отклонения \( R_1 \) и \( R_3 \) на \( 10\% \). Погрешность функции нескольких переменных: \[ \Delta U \approx \left| \frac{\partial U}{\partial R_1} \right| \Delta R_1 + \left| \frac{\partial U}{\partial R_3} \right| \Delta R_3 \] Для левого плеча при \( R_1 = R_2 = R \): \[ \Delta \phi_C = U_{AD} \cdot \frac{R_2}{(R_1 + R_2)^2} \cdot \Delta R_1 = 5 \cdot \frac{R}{(2R)^2} \cdot 0,1R = 5 \cdot \frac{0,1}{4} = 0,125 \, \text{В} \] Для правого плеча максимальное отклонение будет при \( R_x = R \): \[ \Delta \phi_B = U_{AD} \cdot \frac{R_x}{(R_x + R_3)^2} \cdot \Delta R_3 = 5 \cdot \frac{R}{(2R)^2} \cdot 0,1R = 0,125 \, \text{В} \] Максимальная абсолютная погрешность: \[ \Delta U_{CB} = 0,125 + 0,125 = 0,25 \, \text{В} \] 4. Выбор шкалы вольтметра. Максимальное измеряемое напряжение с учетом погрешности: \[ U_{max} = 0,833 + 0,25 = 1,083 \, \text{В} \] Из предложенного ряда (50 мВ; 100 мВ; 1,0 В; 3,0 В; 5,0 В) шкала 1,0 В будет недостаточна, так как значение может превысить 1 В. Наиболее удобная и ближайшая подходящая шкала — 3,0 В. Ответ: Максимальная абсолютная погрешность \( \Delta U_{CB} = 0,25 \, \text{В} \). Наиболее удобная шкала вольтметра — 3,0 В.