Решение: Контрольная работа по геометрии. Теорема Пифагора. 8 класс

Контрольная работа по геометрии, 8 класс Тема: «Теорема Пифагора» Вариант 2 Задача 1 Дано: прямоугольный треугольник, катет \( a = 15 \) см, гипотенуза \( c = 17 \) см. Найти: другой катет \( b \). Решение: По теореме Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] Отсюда выразим второй катет: \[ b^2 = c^2 - a^2 \] \[ b = \sqrt{17^2 - 15^2} \] \[ b = \sqrt{289 - 225} \] \[ b = \sqrt{64} \] \[ b = 8 \text{ (см)} \] Ответ: 8 см. Задача 2 Дано: равнобедренный треугольник, боковая сторона \( AB = BC = 29 \) см, высота \( BH = 21 \) см. Найти: основание \( AC \). Решение: Высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является медианой. Значит, \( AH = HC \). Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABH \). По теореме Пифагора: \[ AH^2 + BH^2 = AB^2 \] \[ AH^2 = 29^2 - 21^2 \] \[ AH^2 = 841 - 441 \] \[ AH^2 = 400 \] \[ AH = \sqrt{400} = 20 \text{ (см)} \] Так как \( H \) — середина \( AC \), то: \[ AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 20 = 40 \text{ (см)} \] Ответ: 40 см. Задача 3 Дано: треугольник со сторонами \( a = 36 \) см, \( b = 25 \) см, \( c = 29 \) см. Найти: высоту \( h \), проведенную к большей стороне (\( a = 36 \)). Решение: 1. Найдем площадь треугольника по формуле Герона. Полупериметр \( p \): \[ p = \frac{36 + 25 + 29}{2} = \frac{90}{2} = 45 \text{ (см)} \] Площадь \( S \): \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \] \[ S = \sqrt{45 \cdot (45-36) \cdot (45-25) \cdot (45-29)} \] \[ S = \sqrt{45 \cdot 9 \cdot 20 \cdot 16} \] \[ S = \sqrt{9 \cdot 5 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 16} = 9 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 4 = 360 \text{ (см}^2) \] 2. Высота через площадь: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \] \[ 360 = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot h \] \[ 360 = 18 \cdot h \] \[ h = \frac{360}{18} = 20 \text{ (см)} \] Ответ: 20 см. Задача 4 Дано: ромб, диагонали \( d_1 = 30 \) см, \( d_2 = 40 \) см. Найти: периметр ромба \( P \). Решение: Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей. Его катеты равны: \[ \frac{d_1}{2} = \frac{30}{2} = 15 \text{ (см)} \] \[ \frac{d_2}{2} = \frac{40}{2} = 20 \text{ (см)} \] Сторона ромба \( a \) является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора: \[ a^2 = 15^2 + 20^2 \] \[ a^2 = 225 + 400 \] \[ a^2 = 625 \] \[ a = \sqrt{625} = 25 \text{ (см)} \] Периметр ромба: \[ P = 4 \cdot a = 4 \cdot 25 = 100 \text{ (см)} \] Ответ: 100 см.