Хорошо, давайте решим эту задачу.
На изображении представлена схема планетарного редуктора и даны числа зубьев некоторых шестерен. Нужно определить передаточное отношение.
Дано:
Числа зубьев шестерен:
\(Z_1 = 50\)
\(Z_2 = 20\)
\(Z_3 = 20\)
\(Z_4 = 40\)
\(Z_6 = 22\)
\(Z_7 = 44\)
Схема показывает, что:
* Шестерня 1 - центральная (солнечная) шестерня.
* Шестерня 2 - сателлит, зацепляется с шестерней 1.
* Шестерня 3 - сателлит, зацепляется с шестерней 4. Шестерни 2 и 3 находятся на одном водиле H.
* Шестерня 4 - центральная (солнечная) шестерня.
* Шестерня 5 - неподвижная (закреплена).
* Шестерня 6 - сателлит, зацепляется с шестерней 7.
* Шестерня 7 - центральная (солнечная) шестерня.
На схеме видно, что шестерня 5 является неподвижной, а шестерня 4 зацепляется с шестерней 3. Также шестерня 6 зацепляется с шестерней 7.
Давайте разберем схему по частям.
Первая часть - планетарный механизм с водилом H.
В этом механизме:
* Шестерня 1 - центральная.
* Шестерня 2 - сателлит.
* Водило H - вращается.
* Шестерня 5 - неподвижная.
Однако, на схеме шестерня 5 зацепляется с шестерней 4, а шестерня 4 зацепляется с шестерней 3. Шестерни 2 и 3 сидят на одном водиле H.
Давайте внимательно посмотрим на зацепления:
1. Шестерня 1 (вход) зацепляется с шестерней 2.
2. Шестерня 2 и шестерня 3 сидят на одном водиле H.
3. Шестерня 3 зацепляется с шестерней 4.
4. Шестерня 4 зацепляется с шестерней 5.
5. Шестерня 5 неподвижна.
6. Шестерня 6 зацепляется с шестерней 7 (выход).
7. Водило H является входом для второй ступени, или же водило H является выходом, а шестерня 7 - выходом.
Судя по стрелке \( \omega_1 \), входной вал связан с шестерней 1.
Выходной вал связан с шестерней 7.
Рассмотрим первую планетарную ступень.
В ней участвуют:
* Шестерня 1 (вход)
* Шестерня 2 (сателлит)
* Шестерня 3 (сателлит, на одном водиле с 2)
* Шестерня 4 (центральная)
* Шестерня 5 (неподвижная, зацепляется с 4)
* Водило H
Так как шестерня 5 неподвижна, а она зацепляется с шестерней 4, то шестерня 4 является центральной шестерней, которая заторможена через шестерню 5.
То есть, шестерня 4 является неподвижной центральной шестерней.
Тогда для первой планетарной ступени (1-2-3-4-H):
* Вход: шестерня 1
* Выход: водило H
* Неподвижная шестерня: 4 (через 5)
Формула Виллиса для планетарного редуктора:
\[ \frac{\omega_1 - \omega_H}{\omega_4 - \omega_H} = i_{14}^H \]
где \( i_{14}^H \) - передаточное отношение от шестерни 1 к шестерне 4 при остановленном водиле H.
В нашем случае, шестерня 4 неподвижна, то есть \( \omega_4 = 0 \).
Тогда формула принимает вид:
\[ \frac{\omega_1 - \omega_H}{0 - \omega_H} = i_{14}^H \]
\[ \frac{\omega_1 - \omega_H}{-\omega_H} = i_{14}^H \]
\[ \frac{\omega_H - \omega_1}{\omega_H} = i_{14}^H \]
\[ 1 - \frac{\omega_1}{\omega_H} = i_{14}^H \]
\[ \frac{\omega_1}{\omega_H} = 1 - i_{14}^H \]
\[ i_{1H} = \frac{\omega_1}{\omega_H} = 1 - i_{14}^H \]
Теперь найдем \( i_{14}^H \). Это передаточное отношение от шестерни 1 к шестерне 4, если водило H неподвижно.
При неподвижном водиле H, шестерня 1 вращает шестерню 2, которая сидит на водиле H. Шестерня 2 вращает шестерню 3 (так как они на одном валу). Шестерня 3 вращает шестерню 4.
Цепь зацепления: 1 -> 2 -> 3 -> 4.
Передаточное отношение \( i_{14}^H \) будет произведением передаточных отношений каждой пары:
\[ i_{14}^H = \frac{Z_2}{Z_1} \cdot \frac{Z_4}{Z_3} \]
Знак передаточного отношения:
* 1 и 2 - внешнее зацепление, знак минус.
* 2 и 3 - на одном валу, передаточное отношение 1.
* 3 и 4 - внешнее зацепление, знак минус.
Значит, \( i_{14}^H = (-\frac{Z_2}{Z_1}) \cdot (-\frac{Z_4}{Z_3}) = \frac{Z_2}{Z_1} \cdot \frac{Z_4}{Z_3} \)
Подставим значения:
\(Z_1 = 50\)
\(Z_2 = 20\)
\(Z_3 = 20\)
\(Z_4 = 40\)
\[ i_{14}^H = \frac{20}{50} \cdot \frac{40}{20} = \frac{2}{5} \cdot 2 = \frac{4}{5} = 0.8 \]
Теперь найдем передаточное отношение первой ступени \( i_{1H} \):
\[ i_{1H} = 1 - i_{14}^H = 1 - 0.8 = 0.2 \]
Это означает, что \( \frac{\omega_1}{\omega_H} = 0.2 \).
Теперь рассмотрим вторую ступень.
Водило H является входом для второй ступени.
На водиле H сидит шестерня 6.
Шестерня 6 зацепляется с шестерней 7 (выход).
Это простая зубчатая передача.
Передаточное отношение от водила H к шестерне 7:
\[ i_{H7} = \frac{\omega_H}{\omega_7} \]
Цепь зацепления: H -> 6 -> 7.
Шестерня 6 сидит на водиле H, поэтому ее угловая скорость равна угловой скорости водила H.
Передаточное отношение от шестерни 6 к шестерне 7:
\[ i_{67} = \frac{Z_7}{Z_6} \]
Так как шестерня 6 вращается с угловой скоростью водила H, то \( \omega_6 = \omega_H \).
И \( \frac{\omega_6}{\omega_7} = \frac{Z_7}{Z_6} \).
Значит, \( i_{H7} = \frac{\omega_H}{\omega_7} = \frac{Z_7}{Z_6} \).
Подставим значения:
\(Z_6 = 22\)
\(Z_7 = 44\)
\[ i_{H7} = \frac{44}{22} = 2 \]
Общее передаточное отношение редуктора \( i_{17} = \frac{\omega_1}{\omega_7} \).
Мы знаем, что \( i_{1H} = \frac{\omega_1}{\omega_H} \) и \( i_{H7} = \frac{\omega_H}{\omega_7} \).
Тогда:
\[ i_{17} = \frac{\omega_1}{\omega_7} = \frac{\omega_1}{\omega_H} \cdot \frac{\omega_H}{\omega_7} = i_{1H} \cdot i_{H7} \]
Подставим найденные значения:
\[ i_{17} = 0.2 \cdot 2 = 0.4 \]
Итак, общее передаточное отношение редуктора равно 0.4.
Давайте проверим знаки.
В формуле Виллиса \( i_{1H} = 1 - i_{14}^H \), если \( i_{14}^H \) положительно, то \( i_{1H} \) может быть как положительным, так и отрицательным.
\( i_{14}^H = \frac{Z_2}{Z_1} \cdot \frac{Z_4}{Z_3} \). Так как все числа зубьев положительны, то \( i_{14}^H \) всегда положительно.
В нашем случае \( i_{14}^H = 0.8 \).
Тогда \( i_{1H} = 1 - 0.8 = 0.2 \). Это означает, что \( \omega_1 \) и \( \omega_H \) вращаются в одном направлении.
Теперь для второй ступени:
\( i_{H7} = \frac{Z_7}{Z_6} = \frac{44}{22} = 2 \).
Это означает, что \( \omega_H \) и \( \omega_7 \) вращаются в одном направлении.
Так как \( \omega_1 \) и \( \omega_H \) в одном направлении, и \( \omega_H \) и \( \omega_7 \) в одном направлении, то \( \omega_1 \) и \( \omega_7 \) также вращаются в одном направлении.
Поэтому общее передаточное отношение будет положительным.
Окончательный ответ:
Передаточное отношение редуктора \( i_{17} = 0.4 \).
---
Давайте перепишем решение в тетрадь школьнику.
Решение задачи №40
Дано:
Числа зубьев шестерен:
- \(Z_1 = 50\)
- \(Z_2 = 20\)
- \(Z_3 = 20\)
- \(Z_4 = 40\)
- \(Z_6 = 22\)
- \(Z_7 = 44\)
Найти: Общее передаточное отношение редуктора \(i_{17}\).
Ход решения:
Данный механизм является планетарным редуктором. Он состоит из двух ступеней.
1. Рассмотрим первую планетарную ступень.
В этой ступени участвуют шестерни 1, 2, 3, 4 и водило H. Шестерня 5 неподвижна и зацепляется с шестерней 4, делая шестерню 4 также неподвижной.
- Вход: шестерня 1 (с угловой скоростью \( \omega_1 \)).
- Выход: водило H (с угловой скоростью \( \omega_H \)).
- Неподвижная центральная шестерня: 4 (поскольку она зацепляется с неподвижной шестерней 5).
Для планетарного редуктора используется формула Виллиса:
\[ \frac{\omega_1 - \omega_H}{\omega_4 - \omega_H} = i_{14}^H \]
где \( i_{14}^H \) - передаточное отношение от шестерни 1 к шестерне 4 при остановленном водиле H.
Так как шестерня 4 неподвижна, то \( \omega_4 = 0 \).
Подставим это в формулу Виллиса:
\[ \frac{\omega_1 - \omega_H}{0 - \omega_H} = i_{14}^H \]
\[ \frac{\omega_1 - \omega_H}{-\omega_H} = i_{14}^H \]
\[ 1 - \frac{\omega_1}{\omega_H} = -i_{14}^H \]
Или, что то же самое:
\[ \frac{\omega_1}{\omega_H} = 1 - i_{14}^H \]
Передаточное отношение первой ступени \( i_{1H} = \frac{\omega_1}{\omega_H} \).
\[ i_{1H} = 1 - i_{14}^H \]
Теперь найдем \( i_{14}^H \). Это передаточное отношение от шестерни 1 к шестерне 4, если водило H неподвижно. Цепь зацепления: 1 -> 2 -> 3 -> 4.
Шестерни 2 и 3 сидят на одном валу (водиле H), поэтому их относительное передаточное отношение равно 1.
Передаточное отношение \( i_{14}^H \) рассчитывается как произведение отношений чисел зубьев:
\[ i_{14}^H = \frac{Z_2}{Z_1} \cdot \frac{Z_4}{Z_3} \]
Подставим значения:
\[ i_{14}^H = \frac{20}{50} \cdot \frac{40}{20} \]
\[ i_{14}^H = \frac{2}{5} \cdot 2 \]
\[ i_{14}^H = \frac{4}{5} = 0.8 \]
Теперь найдем передаточное отношение первой ступени \( i_{1H} \):
\[ i_{1H} = 1 - i_{14}^H = 1 - 0.8 = 0.2 \]
2. Рассмотрим вторую ступень.
Вторая ступень представляет собой простую зубчатую передачу.
- Вход: водило H (с угловой скоростью \( \omega_H \)).
- Выход: шестерня 7 (с угловой скоростью \( \omega_7 \)).
Шестерня 6 сидит на водиле H, поэтому ее угловая скорость равна угловой скорости водила H (\( \omega_6 = \omega_H \)).
Передаточное отношение от водила H к шестерне 7 (\( i_{H7} \)) определяется как:
\[ i_{H7} = \frac{\omega_H}{\omega_7} = \frac{Z_7}{Z_6} \]
Подставим значения:
\[ i_{H7} = \frac{44}{22} = 2 \]
3. Найдем общее передаточное отношение редуктора.
Общее передаточное отношение \( i_{17} = \frac{\omega_1}{\omega_7} \) является произведением передаточных отношений отдельных ступеней:
\[ i_{17} = i_{1H} \cdot i_{H7} \]
Подставим найденные значения:
\[ i_{17} = 0.2 \cdot 2 \]
\[ i_{17} = 0.4 \]
Ответ:
Общее передаточное отношение редуктора равно 0.4.
