Решение задачи №14: Нахождение площади трапеции

Задача № 14 Дано: Трапеция \(ABCD\). Средняя линия \(m = 10\) см. Боковая сторона \(c = 6\) см. Угол между боковой стороной и основанием \(\alpha = 150^{\circ}\). Найти: Площадь трапеции \(S\). Решение: 1. Площадь трапеции вычисляется по формуле: \[S = m \cdot h\] где \(m\) — средняя линия, \(h\) — высота трапеции. 2. Нам известна средняя линия \(m = 10\) см. Чтобы найти площадь, нужно найти высоту \(h\). 3. Рассмотрим тупой угол трапеции, который по условию равен \(150^{\circ}\). Высота, проведенная из этой же вершины к большему основанию, образует с боковой стороной прямоугольный треугольник. 4. Найдем острый угол трапеции при той же боковой стороне. Так как сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна \(180^{\circ}\), то острый угол равен: \[180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}\] 5. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой \(h\), боковой стороной \(c\) и частью основания, высота является катетом, лежащим против угла в \(30^{\circ}\). 6. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в \(30^{\circ}\), равен половине гипотенузы (боковой стороны): \[h = \frac{c}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см}\] 7. Теперь вычислим площадь трапеции: \[S = 10 \cdot 3 = 30 \text{ см}^2\] Ответ: \(30 \text{ см}^2\).