Решение: Не более трех тупых внешних углов многоугольника

Задача: Доказать, что среди внешних углов выпуклого многоугольника не может быть более трех тупых углов. Доказательство: 1. Вспомним теорему о сумме внешних углов выпуклого \(n\)-угольника, взятых по одному при каждой вершине. Эта сумма всегда равна \(360^\circ\). Обозначим внешние углы как \(\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n\). Тогда: \[ \beta_1 + \beta_2 + \dots + \beta_n = 360^\circ \] 2. Предположим противное: пусть в выпуклом многоугольнике имеется более трех тупых внешних углов. Это значит, что хотя бы четыре внешних угла больше \(90^\circ\). 3. Пусть это будут углы \(\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4\). По нашему предположению: \[ \beta_1 > 90^\circ, \beta_2 > 90^\circ, \beta_3 > 90^\circ, \beta_4 > 90^\circ \] 4. Найдем сумму этих четырех углов: \[ \beta_1 + \beta_2 + \beta_3 + \beta_4 > 90^\circ \cdot 4 \] \[ \beta_1 + \beta_2 + \beta_3 + \beta_4 > 360^\circ \] 5. Так как все внешние углы выпуклого многоугольника положительны (\(\beta_i > 0\)), то сумма всех \(n\) внешних углов будет еще больше суммы этих четырех: \[ \sum_{i=1}^{n} \beta_i \ge \beta_1 + \beta_2 + \beta_3 + \beta_4 > 360^\circ \] 6. Мы получили противоречие с теоремой о том, что сумма внешних углов должна быть строго равна \(360^\circ\). 7. Следовательно, наше предположение было неверным, и среди внешних углов выпуклого многоугольника не может быть более трех тупых углов. Что и требовалось доказать.