Задача 4
Один из мальчиков утверждал, что, спускаясь с горы высотой 20 м на лыжах, он развил скорость 100 км/ч. Правдоподобно ли его утверждение?
Решение:
Для того чтобы проверить правдоподобность утверждения мальчика, мы можем использовать закон сохранения энергии. Предположим, что вся потенциальная энергия мальчика на вершине горы превратилась в кинетическую энергию в конце спуска. В реальности часть энергии теряется на трение, поэтому рассчитанная нами скорость будет максимальной возможной скоростью, которую он мог бы развить.
Дано:
- Высота горы \(h = 20\) м
- Скорость, заявленная мальчиком \(v_{заявл} = 100\) км/ч
- Ускорение свободного падения \(g \approx 9.8\) м/с\(^2\) (можно округлить до 10 м/с\(^2\) для простоты расчетов в школе, но для точности возьмем 9.8 м/с\(^2\))
Найти:
- Максимально возможная скорость \(v_{макс}\)
1. Переведем заявленную скорость из км/ч в м/с:
\[v_{заявл} = 100 \text{ км/ч} = 100 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{100000}{3600} \text{ м/с} \approx 27.78 \text{ м/с}\]2. Запишем закон сохранения энергии. Потенциальная энергия на вершине горы равна кинетической энергии внизу (без учета потерь на трение):
\[E_п = E_к\] \[mgh = \frac{mv_{макс}^2}{2}\]3. Масса \(m\) сокращается, так как она есть в обеих частях уравнения:
\[gh = \frac{v_{макс}^2}{2}\]4. Выразим максимальную скорость \(v_{макс}\):
\[v_{макс}^2 = 2gh\] \[v_{макс} = \sqrt{2gh}\]5. Подставим значения и рассчитаем \(v_{макс}\):
\[v_{макс} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 20 \text{ м}}\] \[v_{макс} = \sqrt{392 \text{ м}^2/\text{с}^2}\] \[v_{макс} \approx 19.8 \text{ м/с}\]6. Сравним рассчитанную максимальную скорость с заявленной скоростью:
\[v_{макс} \approx 19.8 \text{ м/с}\] \[v_{заявл} \approx 27.78 \text{ м/с}\]Мы видим, что заявленная мальчиком скорость (27.78 м/с) значительно превышает максимально возможную скорость (19.8 м/с), которую он мог бы развить, даже если бы не было никаких потерь энергии на трение. В реальных условиях скорость была бы еще меньше.
Ответ:
Утверждение мальчика неправдоподобно. Максимальная скорость, которую он мог бы развить, спускаясь с горы высотой 20 м, составляет около 19.8 м/с (или примерно 71.3 км/ч), что значительно меньше заявленных 100 км/ч.
Задача 5
Сосулька массой 100 г падает с высоты 20 м. Чему равен её импульс в момент падения? Какова её кинетическая энергия?
Решение:
Для решения этой задачи нам сначала нужно найти скорость сосульки в момент падения. Мы можем использовать закон сохранения энергии или формулы равноускоренного движения.
Дано:
- Масса сосульки \(m = 100\) г
- Высота падения \(h = 20\) м
- Ускорение свободного падения \(g \approx 9.8\) м/с\(^2\)
Найти:
- Импульс \(p\) в момент падения
- Кинетическая энергия \(E_к\) в момент падения
1. Переведем массу из граммов в килограммы:
\[m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}\]2. Найдем скорость сосульки \(v\) в момент падения. Используем закон сохранения энергии. Потенциальная энергия на высоте \(h\) полностью переходит в кинетическую энергию в момент падения (пренебрегаем сопротивлением воздуха):
\[mgh = \frac{mv^2}{2}\]3. Масса \(m\) сокращается:
\[gh = \frac{v^2}{2}\]4. Выразим скорость \(v\):
\[v^2 = 2gh\] \[v = \sqrt{2gh}\]5. Подставим значения и рассчитаем скорость \(v\):
\[v = \sqrt{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 20 \text{ м}}\] \[v = \sqrt{392 \text{ м}^2/\text{с}^2}\] \[v \approx 19.8 \text{ м/с}\]6. Рассчитаем импульс сосульки \(p\) в момент падения. Импульс определяется как произведение массы на скорость:
\[p = mv\] \[p = 0.1 \text{ кг} \cdot 19.8 \text{ м/с}\] \[p = 1.98 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\]7. Рассчитаем кинетическую энергию сосульки \(E_к\) в момент падения. Кинетическая энергия определяется как половина произведения массы на квадрат скорости:
\[E_к = \frac{mv^2}{2}\] \[E_к = \frac{0.1 \text{ кг} \cdot (19.8 \text{ м/с})^2}{2}\] \[E_к = \frac{0.1 \text{ кг} \cdot 392.04 \text{ м}^2/\text{с}^2}{2}\] \[E_к = \frac{39.204 \text{ Дж}}{2}\] \[E_к = 19.602 \text{ Дж}\]Примечание: Кинетическую энергию также можно было бы найти, используя потенциальную энергию на начальной высоте, так как вся потенциальная энергия перешла в кинетическую:
\[E_к = E_п = mgh\] \[E_к = 0.1 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 20 \text{ м}\] \[E_к = 19.6 \text{ Дж}\]Небольшое расхождение в 0.002 Дж связано с округлением скорости \(v\).
Ответ:
Импульс сосульки в момент падения равен примерно \(1.98 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\).
Кинетическая энергия сосульки в момент падения равна примерно \(19.6 \text{ Дж}\).