Контрольная работа № 4
Тема. Деление дробей
1. Выполните деление:
1) \( \frac{7}{15} : \frac{14}{25} \)
Для деления дробей нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (то есть перевернутую вторую дробь).
\( \frac{7}{15} : \frac{14}{25} = \frac{7}{15} \cdot \frac{25}{14} \)
Теперь можно сократить дроби до умножения. \(7\) и \(14\) сокращаются на \(7\), \(15\) и \(25\) сокращаются на \(5\).
\( \frac{7}{15} \cdot \frac{25}{14} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6} \)
Ответ: \( \frac{5}{6} \)
2) \( 8 : \frac{4}{13} \)
Целое число \(8\) можно представить как дробь \( \frac{8}{1} \).
\( 8 : \frac{4}{13} = \frac{8}{1} : \frac{4}{13} = \frac{8}{1} \cdot \frac{13}{4} \)
Сократим \(8\) и \(4\) на \(4\).
\( \frac{8}{1} \cdot \frac{13}{4} = \frac{2 \cdot 13}{1 \cdot 1} = \frac{26}{1} = 26 \)
Ответ: \( 26 \)
3) \( 9 : \frac{27}{28} \)
Целое число \(9\) можно представить как дробь \( \frac{9}{1} \).
\( 9 : \frac{27}{28} = \frac{9}{1} : \frac{27}{28} = \frac{9}{1} \cdot \frac{28}{27} \)
Сократим \(9\) и \(27\) на \(9\).
\( \frac{9}{1} \cdot \frac{28}{27} = \frac{1 \cdot 28}{1 \cdot 3} = \frac{28}{3} \)
Можно выделить целую часть:
\( \frac{28}{3} = 9 \frac{1}{3} \)
Ответ: \( 9 \frac{1}{3} \)
4) \( 2 \frac{1}{7} : 1 \frac{7}{9} \)
Сначала переведем смешанные дроби в неправильные.
\( 2 \frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{14 + 1}{7} = \frac{15}{7} \)
\( 1 \frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{9 + 7}{9} = \frac{16}{9} \)
Теперь выполним деление:
\( \frac{15}{7} : \frac{16}{9} = \frac{15}{7} \cdot \frac{9}{16} \)
Здесь нет общих множителей для сокращения.
\( \frac{15 \cdot 9}{7 \cdot 16} = \frac{135}{112} \)
Выделим целую часть:
\( \frac{135}{112} = 1 \frac{23}{112} \)
Ответ: \( 1 \frac{23}{112} \)
2. Поезд прошёл 102 км, что составляет \( \frac{6}{11} \) всего пути. Сколько километров составляет весь путь?
Пусть весь путь равен \(x\) км.
Из условия задачи мы знаем, что 102 км составляют \( \frac{6}{11} \) от всего пути \(x\).
Это можно записать как уравнение:
\( \frac{6}{11} \cdot x = 102 \)
Чтобы найти \(x\), нужно разделить 102 на \( \frac{6}{11} \).
\( x = 102 : \frac{6}{11} \)
Деление на дробь равно умножению на обратную дробь:
\( x = 102 \cdot \frac{11}{6} \)
Сократим \(102\) и \(6\). \(102 : 6 = 17\).
\( x = 17 \cdot 11 \)
\( x = 187 \)
Ответ: Весь путь составляет 187 километров.
3. Рабочий изготовил 48 деталей, что составляет 16 % количества деталей, которые он должен был изготовить. Сколько всего деталей надо изготовить рабочему?
Пусть общее количество деталей, которые должен изготовить рабочий, равно \(x\).
Мы знаем, что 48 деталей составляют 16 % от \(x\).
Проценты можно записать в виде десятичной дроби: \(16 \% = \frac{16}{100} = 0.16\).
Тогда уравнение будет выглядеть так:
\( 0.16 \cdot x = 48 \)
Чтобы найти \(x\), нужно разделить 48 на 0.16.
\( x = 48 : 0.16 \)
Для удобства деления можно умножить делимое и делитель на 100, чтобы избавиться от десятичной дроби:
\( x = 4800 : 16 \)
\( x = 300 \)
Ответ: Рабочему надо изготовить всего 300 деталей.
4. Выполните действия: \( \left(14 - 2 \frac{11}{12}\right) : 1 \frac{7}{18} \)
Сначала выполним вычитание в скобках.
\( 14 - 2 \frac{11}{12} \)
Представим \(14\) как \(13 \frac{12}{12}\).
\( 13 \frac{12}{12} - 2 \frac{11}{12} = (13 - 2) + \left(\frac{12}{12} - \frac{11}{12}\right) = 11 + \frac{1}{12} = 11 \frac{1}{12} \)
Теперь переведем \(11 \frac{1}{12}\) в неправильную дробь:
\( 11 \frac{1}{12} = \frac{11 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{132 + 1}{12} = \frac{133}{12} \)
Теперь переведем делитель \(1 \frac{7}{18}\) в неправильную дробь:
\( 1 \frac{7}{18} = \frac{1 \cdot 18 + 7}{18} = \frac{18 + 7}{18} = \frac{25}{18} \)
Теперь выполним деление:
\( \frac{133}{12} : \frac{25}{18} = \frac{133}{12} \cdot \frac{18}{25} \)
Сократим \(12\) и \(18\) на \(6\).
\( \frac{133}{2} \cdot \frac{3}{25} = \frac{133 \cdot 3}{2 \cdot 25} = \frac{399}{50} \)
Выделим целую часть:
\( \frac{399}{50} = 7 \frac{49}{50} \)
Ответ: \( 7 \frac{49}{50} \)
5. Преобразуйте обыкновенную дробь \( \frac{1}{6} \) в бесконечную периодическую десятичную дробь.
Для этого нужно разделить 1 на 6.
\( 1 : 6 \)
1.0000... | 6
-0 | 0.1666...
---
10
-6
---
40
-36
---
40
-36
---
4
Мы видим, что цифра 6 повторяется.
Поэтому \( \frac{1}{6} = 0.1(6) \)
Ответ: \( 0.1(6) \)
6. Из пункта А в направлении пункта В выехал первый велосипедист со скоростью \( 12 \frac{2}{3} \) км/ч. Одновременно из пункта В в том же направлении выехал второй велосипедист, скорость которого в \( 1 \frac{1}{16} \) раза меньше скорости первого. Через сколько часов после начала движения первый велосипедист догонит второго, если расстояние между пунктами А и В равно 8 км?
Дано:
- Скорость первого велосипедиста \( v_1 = 12 \frac{2}{3} \) км/ч.
- Скорость второго велосипедиста \( v_2 \) в \( 1 \frac{1}{16} \) раза меньше \( v_1 \).
- Расстояние между пунктами А и В \( S_{AB} = 8 \) км.
Найдем скорость второго велосипедиста \( v_2 \).
Сначала переведем смешанные дроби в неправильные:
\( v_1 = 12 \frac{2}{3} = \frac{12 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{36 + 2}{3} = \frac{38}{3} \) км/ч.
\( 1 \frac{1}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{16 + 1}{16} = \frac{17}{16} \)
Скорость второго велосипедиста в \( \frac{17}{16} \) раза меньше скорости первого, значит, \( v_2 = v_1 : 1 \frac{1}{16} \).
\( v_2 = \frac{38}{3} : \frac{17}{16} = \frac{38}{3} \cdot \frac{16}{17} \)
Здесь нет общих множителей для сокращения.
\( v_2 = \frac{38 \cdot 16}{3 \cdot 17} = \frac{608}{51} \) км/ч.
Первый велосипедист выехал из А, второй из В в том же направлении. Это значит, что они движутся в одном направлении, и первый догоняет второго.
Скорость сближения (или отставания) при движении в одном направлении равна разности скоростей.
Скорость сближения \( v_{сбл} = v_1 - v_2 \).
\( v_{сбл} = \frac{38}{3} - \frac{608}{51} \)
Приведем дроби к общему знаменателю \(51\). \(51 = 3 \cdot 17\).
\( \frac{38}{3} = \frac{38 \cdot 17}{3 \cdot 17} = \frac{646}{51} \)
\( v_{сбл} = \frac{646}{51} - \frac{608}{51} = \frac{646 - 608}{51} = \frac{38}{51} \) км/ч.
Первый велосипедист должен преодолеть расстояние между пунктами А и В, которое составляет 8 км, за счет своей большей скорости.
Время \( t \) до встречи (когда первый догонит второго) равно расстоянию между пунктами, деленному на скорость сближения.
\( t = S_{AB} : v_{сбл} \)
\( t = 8 : \frac{38}{51} \)
\( t = 8 \cdot \frac{51}{38} \)
Сократим \(8\) и \(38\) на \(2\).
\( t = 4 \cdot \frac{51}{19} = \frac{4 \cdot 51}{19} = \frac{204}{19} \)
Выделим целую часть:
\( \frac{204}{19} = 10 \frac{14}{19} \)
Ответ: Первый велосипедист догонит второго через \( 10 \frac{14}{19} \) часов.