Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Дана система уравнений: \[ \begin{cases} 2x - y - 3u = -4 \\ -7x + 4y - 4z - u = -4 \\ 3x - 2y + 4z + 7u = 12 \\ 3x - 2y + 4z + 7u = 12 \end{cases} \] Заметим, что третье и четвертое уравнения идентичны, поэтому одно из них можно отбросить. Составим расширенную матрицу системы: \[ \left( \begin{array}{cccc|c} 2 & -1 & 0 & -3 & -4 \\ -7 & 4 & -4 & -1 & -4 \\ 3 & -2 & 4 & 7 & 12 \end{array} \right) \] Приведем матрицу к ступенчатому виду. 1. Прибавим к третьей строке вторую: \[ \left( \begin{array}{cccc|c} 2 & -1 & 0 & -3 & -4 \\ -7 & 4 & -4 & -1 & -4 \\ -4 & 2 & 0 & 6 & 8 \end{array} \right) \] 2. Заметим, что третья строка пропорциональна первой (умножена на \(-2\)). Разделим третью строку на \(-2\): \[ \left( \begin{array}{cccc|c} 2 & -1 & 0 & -3 & -4 \\ -7 & 4 & -4 & -1 & -4 \\ 2 & -1 & 0 & -3 & -4 \end{array} \right) \] 3. Вычтем из третьей строки первую. Получим нулевую строку: \[ \left( \begin{array}{cccc|c} 2 & -1 & 0 & -3 & -4 \\ -7 & 4 & -4 & -1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \] Таким образом, ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы: Ранг основной матрицы = 2 Ранг расширенной матрицы = 2 Система имеет бесконечное множество решений. Выберем \(x\) и \(y\) как базисные переменные, а \(z\) и \(u\) как свободные параметры. Из первой строки: \(2x - y - 3u = -4 \Rightarrow y = 2x - 3u + 4\). Подставим во вторую строку: \[ -7x + 4(2x - 3u + 4) - 4z - u = -4 \] \[ -7x + 8x - 12u + 16 - 4z - u = -4 \] \[ x - 13u - 4z = -20 \Rightarrow x = 4z + 13u - 20 \] Теперь найдем \(y\): \[ y = 2(4z + 13u - 20) - 3u + 4 \] \[ y = 8z + 26u - 40 - 3u + 4 \] \[ y = 8z + 23u - 36 \] Общее решение системы в векторном виде: \[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ u \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4z + 13u - 20 \\ 8z + 23u - 36 \\ z \\ u \end{pmatrix} \] Ответ для заполнения полей: Ранг основной матрицы: 2 Ранг расширенной матрицы: 2 (Примечание: на вашем скриншоте введено "3" для расширенной матрицы — это ошибка, так как строки обнулились полностью, система совместна). Вектор решения: \[ \begin{pmatrix} 4z + 13u - 20 \\ 8z + 23u - 36 \\ z \\ u \end{pmatrix} \]