Решение задачи с векторами в пространстве R3

Решение задачи по поиску векторов в пространстве \( \mathbb{R}^3 \). Даны векторы: \[ \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \] Условия задачи: 1) \( \vec{x} \parallel \vec{a} \) (вектор \( \vec{x} \) коллинеарен \( \vec{a} \)); 2) \( \vec{y} \perp \vec{b} \) (вектор \( \vec{y} \) ортогонален \( \vec{b} \)); 3) \( \vec{x} + \vec{y} = \vec{b} \). Решение: Так как \( \vec{x} \parallel \vec{a} \), то существует такое число \( k \), что: \[ \vec{x} = k \cdot \vec{a} = \begin{pmatrix} 2k \\ 2k \\ -3k \end{pmatrix} \] Из третьего условия выразим \( \vec{y} \): \[ \vec{y} = \vec{b} - \vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2k \\ 2k \\ -3k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 - 2k \\ -3 - 2k \\ 3k \end{pmatrix} \] Используем второе условие (\( \vec{y} \perp \vec{b} \)). Это означает, что их скалярное произведение равно нулю: \[ (\vec{y}, \vec{b}) = 0 \] \[ (-2 - 2k) \cdot (-2) + (-3 - 2k) \cdot (-3) + (3k) \cdot 0 = 0 \] \[ 4 + 4k + 9 + 6k + 0 = 0 \] \[ 13 + 10k = 0 \] \[ 10k = -13 \Rightarrow k = -\frac{13}{10} \] Теперь найдем координаты вектора \( \vec{x} \): \[ x_1 = 2 \cdot \left(-\frac{13}{10}\right) = -\frac{26}{10} = -\frac{13}{5} \] \[ x_2 = 2 \cdot \left(-\frac{13}{10}\right) = -\frac{26}{10} = -\frac{13}{5} \] \[ x_3 = -3 \cdot \left(-\frac{13}{10}\right) = \frac{39}{10} \] \[ \vec{x} = \left[ -13/5, -13/5, 39/10 \right] \] Найдем координаты вектора \( \vec{y} \): \[ y_1 = -2 - 2 \cdot \left(-\frac{13}{10}\right) = -2 + \frac{13}{5} = -\frac{10}{5} + \frac{13}{5} = \frac{3}{5} \] \[ y_2 = -3 - 2 \cdot \left(-\frac{13}{10}\right) = -3 + \frac{13}{5} = -\frac{15}{5} + \frac{13}{5} = -\frac{2}{5} \] \[ y_3 = 3 \cdot \left(-\frac{13}{10}\right) = -\frac{39}{10} \] \[ \vec{y} = \left[ 3/5, -2/5, -39/10 \right] \] Ответ для ввода: \( \vec{x} = [-13/5, -13/5, 39/10] \) \( \vec{y} = [3/5, -2/5, -39/10] \)