Решение: Задача Китайская шкатулка (поле 4x4)

Задача: Китайская шкатулка (поле \( 4 \times 4 \)) Условие: Необходимо расставить фишки с числами так, чтобы сумма чисел в каждой строке совпадала с числом слева, а в каждом столбце — с числом сверху. Суммы по строкам: \( 2, 3, 1, 9 \). Суммы по столбцам: \( 2, 8, 1, 4 \). В наличии есть фишки с номиналом \( 1 \). Решение: Чтобы получить большие суммы (например, \( 8 \) или \( 9 \)) в клетках поля \( 4 \times 4 \), используя только фишки номиналом \( 1 \), нужно складывать их друг на друга в одну клетку. Распределим фишки по клеткам (строка, столбец): 1. Строка 1 (сумма \( 2 \)): - В клетку (1, 1) ставим \( 2 \) фишки. Проверка: Строка \( 2+0+0+0 = 2 \). Столбец 1: \( 2 \) (уже норма). 2. Строка 2 (сумма \( 3 \)): - В клетку (2, 2) ставим \( 3 \) фишки. Проверка: Строка \( 0+3+0+0 = 3 \). 3. Строка 3 (сумма \( 1 \)): - В клетку (3, 3) ставим \( 1 \) фишку. Проверка: Строка \( 0+0+1+0 = 1 \). Столбец 3: \( 1 \) (уже норма). 4. Строка 4 (сумма \( 9 \)): - Нам нужно распределить \( 9 \) фишек так, чтобы закрыть остатки по столбцам. - В столбец 2 нужно еще \( 5 \) фишек (так как \( 8 - 3 = 5 \)). Ставим в клетку (4, 2) — \( 5 \) фишек. - В столбец 4 нужно еще \( 4 \) фишки (так как \( 4 - 0 = 4 \)). Ставим в клетку (4, 4) — \( 4 \) фишки. Проверка строки 4: \( 5 + 4 = 9 \) (верно). Итоговая схема расстановки (количество фишек в клетке): \[ \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 4 \end{pmatrix} \] Проверка всех сумм: Строки: \[ 2 = 2 \] \[ 3 = 3 \] \[ 1 = 1 \] \[ 5 + 4 = 9 \] Столбцы: \[ 2 = 2 \] \[ 3 + 5 = 8 \] \[ 1 = 1 \] \[ 4 = 4 \] Ответ: 1. В клетку (1-я строка, 1-й столбец) — 2 фишки. 2. В клетку (2-я строка, 2-й столбец) — 3 фишки. 3. В клетку (3-я строка, 3-й столбец) — 1 фишка. 4. В клетку (4-я строка, 2-й столбец) — 5 фишек. 5. В клетку (4-я строка, 4-й столбец) — 4 фишки.