Решение: Точка пересечения перпендикуляра и медианы в треугольнике

Решение геометрической задачи на плоскости. Даны вершины треугольника: \( A(-18; -5) \), \( B(0; 9) \), \( C(-4; 3) \). Нужно найти точку \( Q \) — пересечение перпендикуляра из \( B \) на медиану из \( C \). 1. Найдем координаты середины стороны \( AB \) (обозначим точку \( M \)), так как медиана из \( C \) проходит через неё: \[ x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-18 + 0}{2} = -9 \] \[ y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{-5 + 9}{2} = 2 \] Точка \( M(-9; 2) \). 2. Составим уравнение прямой \( CM \) (медианы). Вектор \( \vec{CM} = (x_M - x_C; y_M - y_C) = (-9 - (-4); 2 - 3) = (-5; -1) \). Уравнение прямой через точку \( C(-4; 3) \) с направляющим вектором \( (-5; -1) \): \[ \frac{x + 4}{-5} = \frac{y - 3}{-1} \Rightarrow -(x + 4) = -5(y - 3) \Rightarrow x + 4 = 5y - 15 \] \[ x - 5y + 19 = 0 \quad (\text{уравнение медианы } CM) \] 3. Составим уравнение прямой \( BQ \), которая перпендикулярна \( CM \) и проходит через \( B(0; 9) \). Так как прямая перпендикулярна вектору \( \vec{CM}(-5; -1) \), этот вектор будет вектором нормали для прямой \( BQ \). Уравнение прямой: \( -5(x - 0) - 1(y - 9) = 0 \): \[ -5x - y + 9 = 0 \Rightarrow 5x + y - 9 = 0 \quad (\text{уравнение перпендикуляра}) \] 4. Найдем точку пересечения \( Q \), решив систему уравнений: \[ \begin{cases} x - 5y = -19 \\ 5x + y = 9 \end{cases} \] Выразим \( y \) из второго уравнения: \( y = 9 - 5x \). Подставим в первое: \[ x - 5(9 - 5x) = -19 \] \[ x - 45 + 25x = -19 \] \[ 26x = 26 \Rightarrow x = 1 \] Найдем \( y \): \[ y = 9 - 5(1) = 4 \] Точка \( Q \) имеет координаты \( (1; 4) \). Ответ: \( Q(1; 4) \)