Решение: Одномерное уравнение теплопроводности

Задание 2. Вопрос: Укажите верное дифференциальное уравнение теплопроводности для случая одномерного температурного поля. Решение: Основным законом теплопроводности является закон Фурье. Он гласит, что плотность теплового потока \( q \) прямо пропорциональна градиенту температуры. Математически для одномерного случая (вдоль нормали \( n \)) это записывается так: \[ q = -\lambda \frac{dt}{dn} \] Где: \( q \) — плотность теплового потока (количество теплоты, проходящее в единицу времени через единицу площади); \( \lambda \) — коэффициент теплопроводности материала; \( \frac{dt}{dn} \) — градиент температуры (изменение температуры на единицу длины по нормали к изотермической поверхности). Знак «минус» в формуле указывает на то, что тепловой поток направлен в сторону, противоположную градиенту температуры (то есть от более нагретых тел к менее нагретым). Сравним с предложенными вариантами: 1) \( q = -\lambda dt \) — неверно (пропущена размерность длины). 2) \( q = -\frac{dt}{dn} \) — неверно (отсутствует коэффициент теплопроводности). 3) \( q = -\lambda \frac{dt}{dn} \) — верно. 4) \( q = -\frac{\lambda}{\delta} \frac{dt}{dn} \) — неверно (лишний множитель). Ответ: \( q = -\lambda \frac{dt}{dn} \) (третий вариант).