Нахождение уравнения плоскости по двум прямым

Решение задачи по аналитической геометрии в пространстве. Даны две пересекающиеся прямые: \[ L: \frac{x+4}{-2} = \frac{y+4}{-4} = \frac{z+1}{5} \] \[ L_1: \frac{x+4}{-3} = \frac{y+4}{-3} = \frac{z+1}{-1} \] 1. Найдем уравнение плоскости \( \lambda \). Обе прямые проходят через общую точку \( M_0(-4; -4; -1) \). Направляющие векторы прямых: \( \vec{s} = (-2; -4; 5) \) и \( \vec{s_1} = (-3; -3; -1) \). Вектор нормали \( \vec{n} \) к плоскости \( \lambda \) найдем как векторное произведение \( \vec{s} \) и \( \vec{s_1} \): \[ \vec{n} = \vec{s} \times \vec{s_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & -4 & 5 \\ -3 & -3 & -1 \end{vmatrix} \] \[ \vec{n} = \vec{i}(4 - (-15)) - \vec{j}(2 - (-15)) + \vec{k}(6 - 12) \] \[ \vec{n} = 19\vec{i} - 17\vec{j} - 6\vec{k} \] Вектор нормали: \( \vec{n} = \{19; -17; -6\} \). Уравнение плоскости \( \lambda \) через точку \( M_0(-4; -4; -1) \): \[ 19(x + 4) - 17(y + 4) - 6(z + 1) = 0 \] \[ 19x + 76 - 17y - 68 - 6z - 6 = 0 \] \[ 19x - 17y - 6z + 2 = 0 \] 2. Найдем острый угол между плоскостями \( \lambda \) и \( \lambda_1: 5x + 2y + 3z - 4 = 0 \). Нормаль к \( \lambda_1 \): \( \vec{n_1} = \{5; 2; 3\} \). Косинус угла между плоскостями: \[ \cos \alpha = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{n_1}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{n_1}|} \] \[ \vec{n} \cdot \vec{n_1} = 19 \cdot 5 + (-17) \cdot 2 + (-6) \cdot 3 = 95 - 34 - 18 = 43 \] \[ |\vec{n}| = \sqrt{19^2 + (-17)^2 + (-6)^2} = \sqrt{361 + 289 + 36} = \sqrt{686} = 7\sqrt{14} \] \[ |\vec{n_1}| = \sqrt{5^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 4 + 9} = \sqrt{38} \] \[ \cos \alpha = \frac{43}{\sqrt{686} \cdot \sqrt{38}} = \frac{43}{\sqrt{26068}} \] \[ \alpha = \arccos\left(\frac{43}{\sqrt{26068}}\right) \] Ответы для заполнения: Уравнение плоскости \( \lambda \): \( 19x - 17y - 6z + 2 = 0 \) Вектор нормали \( \vec{n} \): \( \{19; -17; -6\} \) Угол \( \alpha \): \( \arccos(43/\sqrt{26068}) \) (или в градусах через калькулятор \( \approx 74.58^\circ \))