Решение Задачи по Геометрии: Трапеция и Прямоугольный Треугольник

Ниже представлены решения задач, оформленные для записи в тетрадь. Задача 1. Дано: трапеция, основания \(a = 20\), \(b = 26\), боковая сторона \(c = 8\sqrt{3}\), угол при основании \(120^{\circ}\). Найти: \(S\). Решение: 1) Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна \(180^{\circ}\). Значит, острый угол трапеции равен: \[180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}\] 2) Проведем высоту \(h\). Из прямоугольного треугольника, образованного высотой и боковой стороной: \[h = c \cdot \sin(60^{\circ}) = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot 3 = 12\] 3) Площадь трапеции вычисляется по формуле: \[S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{20 + 26}{2} \cdot 12 = 23 \cdot 12 = 276\] Ответ: 276. Задача 2. Дано: прямоугольный треугольник, \(S = 18\sqrt{3}\), угол \(\alpha = 60^{\circ}\). Найти: катет \(a\), прилежащий к углу \(60^{\circ}\). Решение: 1) Пусть прилежащий катет равен \(a\). Тогда противолежащий катет \(b\) выражается через тангенс: \[b = a \cdot \tan(60^{\circ}) = a\sqrt{3}\] 2) Площадь прямоугольного треугольника: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\] 3) Подставим значение площади: \[18\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\] \[18 = \frac{a^2}{2} \Rightarrow a^2 = 36 \Rightarrow a = 6\] Ответ: 6. Задача 3. Дано: трапеция \(ABCD\), \(AD = 8\), \(BC = 6\), \(S_{ABCD} = 49\). Найти: \(S_{ABC}\). Решение: 1) Площадь трапеции: \(S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h\). \[49 = \frac{8 + 6}{2} \cdot h \Rightarrow 49 = 7h \Rightarrow h = 7\] 2) Треугольник \(ABC\) имеет основание \(BC = 6\) и ту же высоту \(h = 7\), что и трапеция. 3) Площадь треугольника: \[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 7 = 21\] Ответ: 21. Задача 4. Дано: прямоугольный треугольник, катеты \(a = 14\), \(b = 5\). Найти: \(S\). Решение: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 5 = 7 \cdot 5 = 35\] Ответ: 35.