Вычисление пределов: Решение задач 7 и 8

Решение задач на вычисление пределов. Вопрос 7. Вычислить предел: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 - 9}{8x^2 + 9} \] Для нахождения предела при \( x \to \infty \) от отношения двух многочленов одинаковой степени, нужно разделить числитель и знаменатель на \( x \) в старшей степени (в данном случае на \( x^2 \)): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2x^2}{x^2} - \frac{9}{x^2}}{\frac{8x^2}{x^2} + \frac{9}{x^2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2 - \frac{9}{x^2}}{8 + \frac{9}{x^2}} \] Так как при \( x \to \infty \) величины \( \frac{9}{x^2} \) стремятся к \( 0 \), получаем: \[ \frac{2 - 0}{8 + 0} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0.25 \] Ответ на вопрос 7: \( 1/4 \) (или \( 0.25 \)). Вопрос 8. Вычислить предел: \[ \lim_{x \to 9} \frac{x - 9}{\sqrt{26 - x} - \sqrt{x + 8}} \] При подстановке \( x = 9 \) получаем неопределенность вида \( \frac{0}{0} \). Чтобы избавиться от неё, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение для знаменателя: \[ \lim_{x \to 9} \frac{(x - 9)(\sqrt{26 - x} + \sqrt{x + 8})}{(\sqrt{26 - x} - \sqrt{x + 8})(\sqrt{26 - x} + \sqrt{x + 8})} \] Применим в знаменателе формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \): \[ \lim_{x \to 9} \frac{(x - 9)(\sqrt{26 - x} + \sqrt{x + 8})}{(26 - x) - (x + 8)} \] Упростим знаменатель: \[ 26 - x - x - 8 = 18 - 2x = -2(x - 9) \] Теперь сократим дробь на \( (x - 9) \): \[ \lim_{x \to 9} \frac{(x - 9)(\sqrt{26 - x} + \sqrt{x + 8})}{-2(x - 9)} = \lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{26 - x} + \sqrt{x + 8}}{-2} \] Подставим \( x = 9 \): \[ \frac{\sqrt{26 - 9} + \sqrt{9 + 8}}{-2} = \frac{\sqrt{17} + \sqrt{17}}{-2} = \frac{2\sqrt{17}}{-2} = -\sqrt{17} \] Ответ на вопрос 8: \( -\sqrt{17} \)