Решение уравнения: 1/(2-x) - 1 = 1/(x-2) - (6-x)/(3x^2-12)

Решение уравнения: \[ \frac{1}{2-x} - 1 = \frac{1}{x-2} - \frac{6-x}{3x^2-12} \] 1. Преобразуем знаменатели и приведем дроби к общему виду. Заметим, что \( 2-x = -(x-2) \), а \( 3x^2-12 = 3(x^2-4) = 3(x-2)(x+2) \). Перепишем уравнение: \[ -\frac{1}{x-2} - 1 = \frac{1}{x-2} - \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} \] 2. Определим область допустимых значений (ОДЗ): Знаменатели не должны быть равны нулю: \[ x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 \] \[ x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 \] ОДЗ: \( x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty) \). 3. Перенесем все слагаемые в левую часть: \[ -\frac{1}{x-2} - 1 - \frac{1}{x-2} + \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} = 0 \] \[ -\frac{2}{x-2} - 1 + \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} = 0 \] 4. Приведем к общему знаменателю \( 3(x-2)(x+2) \): \[ \frac{-2 \cdot 3(x+2) - 1 \cdot 3(x^2-4) + (6-x)}{3(x-2)(x+2)} = 0 \] Раскроем скобки в числителе: \[ -6(x+2) - 3(x^2-4) + 6 - x = 0 \] \[ -6x - 12 - 3x^2 + 12 + 6 - x = 0 \] \[ -3x^2 - 7x + 6 = 0 \] 5. Умножим на -1 для удобства: \[ 3x^2 + 7x - 6 = 0 \] 6. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{121} = 11 \] Находим корни: \[ x_1 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] \[ x_2 = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3 \] 7. Проверка по ОДЗ: Оба корня \( x_1 = \frac{2}{3} \) и \( x_2 = -3 \) входят в область допустимых значений (не равны 2 и -2). Ответ: \( -3; \frac{2}{3} \).