Решение задач 5 и 6: Геометрия

Ниже представлены решения задач со второго изображения, оформленные для записи в тетрадь. Задача 5. Дано: равнобедренная трапеция \(ABCD\), высота \(CH\) делит основание \(AD\) на отрезки 10 и 11. Найти: \(BC\). Решение: 1) В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит его на два отрезка. Меньший из них равен полуразности оснований, а больший — полусумме оснований. 2) Также известно свойство: больший отрезок основания равен средней линии, а меньший отрезок равен \( \frac{AD - BC}{2} \). 3) Пусть \(H\) — точка на \(AD\). По условию \(DH = 10\) (меньший отрезок), \(AH = 11\) (больший отрезок). 4) В равнобедренной трапеции \(BC = AH - DH\). \[BC = 11 - 10 = 1\] Ответ: 1. Задача 6. Дано: прямоугольный треугольник, катет \(a = 10\), противолежащий угол \(\alpha = 45^{\circ}\). Найти: \(S\). Решение: 1) Если один из острых углов прямоугольного треугольника равен \(45^{\circ}\), то второй острый угол также равен \(180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}\). 2) Следовательно, треугольник равнобедренный, и его катеты равны: \(a = b = 10\). 3) Площадь прямоугольного треугольника: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50\] Ответ: 50. Задача 7. Дано: трапеция \(ABCD\), \(AD = 7\), \(BC = 1\), \(S_{ABCD} = 64\), \(MN\) — средняя линия. Найти: \(S_{BCNM}\). Решение: 1) Найдем длину средней линии \(MN\): \[MN = \frac{AD + BC}{2} = \frac{7 + 1}{2} = 4\] 2) Высота всей трапеции \(h\) находится из формулы площади: \[S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h \Rightarrow 64 = 4 \cdot h \Rightarrow h = 16\] 3) Средняя линия делит высоту трапеции пополам. Значит, высота трапеции \(BCNM\) равна \(h_1 = \frac{h}{2} = \frac{16}{2} = 8\). 4) Площадь трапеции \(BCNM\): \[S_{BCNM} = \frac{BC + MN}{2} \cdot h_1 = \frac{1 + 4}{2} \cdot 8 = 2.5 \cdot 8 = 20\] Ответ: 20. Задача 8. Дано: прямоугольный треугольник, катет \(a = 4\), прилежащий угол \(\beta = 45^{\circ}\). Найти: \(S\). Решение: 1) Так как один из острых углов равен \(45^{\circ}\), то треугольник равнобедренный (второй острый угол тоже \(45^{\circ}\)). 2) Значит, второй катет \(b\) равен первому катету: \(b = a = 4\). 3) Площадь треугольника: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8\] Ответ: 8.