Решение уравнения x^2 - 4y^2 - 8y = 0

Дано уравнение линии: \[ x^2 - 4y^2 - 8y = 0 \] Решение: 1. Приведем уравнение к каноническому виду. Для этого выделим полный квадрат по переменной \( y \): \[ x^2 - 4(y^2 + 2y) = 0 \] \[ x^2 - 4(y^2 + 2y + 1 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 4((y + 1)^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 4(y + 1)^2 + 4 = 0 \] 2. Перенесем свободный член в правую часть и разделим на него: \[ x^2 - 4(y + 1)^2 = -4 \] Разделим обе части на \( -4 \): \[ \frac{x^2}{-4} - \frac{4(y + 1)^2}{-4} = 1 \] \[ \frac{(y + 1)^2}{1} - \frac{x^2}{4} = 1 \] 3. Полученное уравнение является уравнением гиперболы с центром в точке \( (0; -1) \), ветви которой направлены вдоль оси \( Oy \). Канонический вид такой гиперболы: \[ \frac{(y - y_0)^2}{a^2} - \frac{(x - x_0)^2}{b^2} = 1 \] Отсюда имеем: \[ a^2 = 1 \implies a = 1 \] \[ b^2 = 4 \implies b = 2 \] 4. Найдем половину расстояния между фокусами \( c \). Для гиперболы справедливо соотношение: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] \[ c^2 = 1 + 4 = 5 \] \[ c = \sqrt{5} \] 5. Расстояние между фокусами равно \( 2c \): \[ 2c = 2\sqrt{5} \] Сравнивая результат с вариантами ответов, выбираем вариант "c". Ответ: c. \( 2\sqrt{5} \)