Найти координаты фокусов гиперболы 16x² - 9y² + 144 = 0

Задача: Найти координаты фокусов гиперболы, заданной уравнением \(16x^2 - 9y^2 + 144 = 0\). Решение: 1. Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду. Для этого перенесем свободный член в правую часть: \[16x^2 - 9y^2 = -144\] 2. Разделим обе части уравнения на \(-144\), чтобы справа получить единицу: \[\frac{16x^2}{-144} - \frac{9y^2}{-144} = 1\] \[-\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1\] Переставим слагаемые для удобства: \[\frac{y^2}{16} - \frac{x^2}{9} = 1\] 3. Полученное уравнение соответствует гиперболе, ветви которой направлены вдоль оси \(Oy\) (так как перед \(y^2\) стоит знак плюс). Каноническое уравнение такой гиперболы имеет вид: \[\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1\] Отсюда находим квадраты полуосей: \(a^2 = 16\) (мнимая полуось по \(x\), действительная по \(y\)) \(b^2 = 9\) 4. Найдем фокусное расстояние \(c\). Для гиперболы справедливо соотношение: \[c^2 = a^2 + b^2\] \[c^2 = 16 + 9 = 25\] \[c = \sqrt{25} = 5\] 5. Так как гипербола вытянута вдоль оси \(Oy\), ее фокусы лежат на этой оси и имеют координаты \(F_1(0, -c)\) и \(F_2(0, c)\). Подставляя значение \(c = 5\), получаем: \(F_1(0, -5)\) \(F_2(0, 5)\) Ответ: c. \(F_1(0, -5), F_2(0, 5)\)