Решение задачи №219 по геометрии

Ниже представлено решение задачи №219 из учебника геометрии, оформленное для записи в тетрадь. Задача №219 Дано: \( \triangle ABC \), \( AD \) — биссектриса, \( O \) — середина \( AD \) (\( AO = OD \)). Прямая \( m \) проходит через \( O \), \( m \perp AD \). \( m \cap AC = M \). Доказать: \( MD \parallel AB \). Доказательство: 1) Рассмотрим \( \triangle AMO \) и \( \triangle DMO \). По условию \( AO = OD \) (так как \( O \) — середина \( AD \)). Сторона \( MO \) — общая. \( \angle AOM = \angle DOM = 90^\circ \) (так как \( m \perp AD \)). Следовательно, \( \triangle AMO = \triangle DMO \) по двум катетам (или по первому признаку равенства треугольников). 2) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \( \angle MAO = \angle MDO \). 3) Так как \( AD \) — биссектриса угла \( A \) треугольника \( ABC \), то: \( \angle MAO = \angle BAD \) (где \( \angle MAO \) — это часть угла \( A \), лежащая на стороне \( AC \)). 4) Таким образом, мы получили: \( \angle MDO = \angle BAD \). Эти углы являются накрест лежащими при пересечении прямых \( MD \) и \( AB \) секущей \( AD \). 5) По признаку параллельности прямых: если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, \( MD \parallel AB \). Что и требовалось доказать.