Задача:
Найдите площадь треугольника \(ABC\), если \(AB = 6\sqrt{8}\) см, \(AC = 4\) см, \(\angle A = 60^\circ\).
Дано:
Треугольник \(ABC\)
Сторона \(AB = 6\sqrt{8}\) см
Сторона \(AC = 4\) см
Угол \(\angle A = 60^\circ\)
Найти:
Площадь треугольника \(S_{ABC}\)
Решение:
Для нахождения площади треугольника, если известны две стороны и угол между ними, используется формула:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)\]где \(a\) и \(b\) – длины двух сторон треугольника, а \(\gamma\) – угол между этими сторонами.
В нашем случае:
\(a = AB = 6\sqrt{8}\) см
\(b = AC = 4\) см
\(\gamma = \angle A = 60^\circ\)
Сначала упростим выражение для \(AB\):
\[\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}\]Тогда \(AB = 6 \cdot 2\sqrt{2} = 12\sqrt{2}\) см.
Теперь подставим значения в формулу площади:
\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)\] \[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot (12\sqrt{2}) \cdot 4 \cdot \sin(60^\circ)\]Известно, что \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Подставляем это значение:
\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]Выполним умножение:
\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot (12 \cdot 4) \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2}\] \[S_{ABC} = 24 \cdot \frac{\sqrt{6}}{2}\] \[S_{ABC} = \frac{24\sqrt{6}}{2}\] \[S_{ABC} = 12\sqrt{6}\]Площадь треугольника \(ABC\) равна \(12\sqrt{6}\) квадратных сантиметров.
Ответ:
\(12\sqrt{6}\)
Среди предложенных вариантов:
- \(\frac{4\sqrt{2}}{2}\)
- \(12\)
- \(12\sqrt{3}\)
- \(12\sqrt{6}\)