Решение задач по геометрии с чертежами

Ниже представлено решение задач с чертежей под номерами 1–4. Решение оформлено так, чтобы его было удобно переписать в школьную тетрадь. Задача 1 Дано: \(BE \parallel AD\), \(AD = 5\), \(CE = 2\), \(ED = 3\). Найти: \(BE = x\). Решение: Рассмотрим треугольники \(CBE\) и \(CAD\). Так как \(BE \parallel AD\), то \(\angle CBE = \angle CAD\) и \(\angle CEB = \angle CDA\) (как соответствующие углы при параллельных прямых). Следовательно, \(\triangle CBE \sim \triangle CAD\) по двум углам. Из подобия следует пропорциональность сторон: \[ \frac{BE}{AD} = \frac{CE}{CD} \] Заметим, что \(CD = CE + ED = 2 + 3 = 5\). Подставим значения: \[ \frac{x}{5} = \frac{2}{5} \] Ответ: \(x = 2\). Задача 2 Дано: \(ME \perp AC\), \(BC \perp AC\), \(AE = 2\), \(EC = 3\), \(BC = 7\). Найти: \(ME = x\). Решение: Треугольники \(AME\) и \(ABC\) прямоугольные и имеют общий угол \(A\). Следовательно, \(\triangle AME \sim \triangle ABC\) по двум углам. Составим пропорцию: \[ \frac{ME}{BC} = \frac{AE}{AC} \] Длина \(AC = AE + EC = 2 + 3 = 5\). \[ \frac{x}{7} = \frac{2}{5} \] \[ 5x = 14 \] \[ x = 2,8 \] Ответ: \(x = 2,8\). Задача 3 Дано: \(AB \perp AD\), \(CD \perp AD\), \(AB = 5\), \(AE = 4\), \(EC = 5\). Найти: \(CD = x\). Решение: Рассмотрим треугольники \(ABE\) и \(DCE\). \(\angle BAE = \angle CDE = 90^\circ\). \(\angle AEB = \angle DEC\) как вертикальные углы. Следовательно, \(\triangle ABE \sim \triangle DCE\) по двум углам. Составим пропорцию: \[ \frac{AB}{CD} = \frac{AE}{DE} \] Однако на чертеже \(EC = 5\) является гипотенузой правого треугольника. Найдем \(DE\) по теореме Пифагора для \(\triangle DCE\): \[ DE = \sqrt{EC^2 - CD^2} = \sqrt{5^2 - x^2} \] Но проще использовать подобие через отношение катетов и гипотенуз: \[ \frac{AB}{CD} = \frac{BE}{CE} \] Сначала найдем \(BE\) в \(\triangle ABE\): \(BE = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}\). Тогда: \[ \frac{5}{x} = \frac{\sqrt{41}}{5} \Rightarrow x = \frac{25}{\sqrt{41}} \] Если же на чертеже \(5\) — это катет \(ED\), то: \[ \frac{5}{x} = \frac{4}{5} \Rightarrow 4x = 25 \Rightarrow x = 6,25 \] (Судя по рисунку, 5 — это скорее гипотенуза \(EC\), но в школьных задачах часто подписывают катеты. Если \(ED=5\), то \(x=6,25\)). Задача 4 Дано: \(EK \parallel AC\), \(BE = 2x\), \(EA = 3\), \(EK = x\), \(AC = 5\). Найти: \(x\). Решение: Так как \(EK \parallel AC\), то \(\triangle BEK \sim \triangle BAC\). Составим пропорцию: \[ \frac{EK}{AC} = \frac{BE}{BA} \] Длина \(BA = BE + EA = 2x + 3\). \[ \frac{x}{5} = \frac{2x}{2x + 3} \] Так как \(x \neq 0\), разделим обе части на \(x\): \[ \frac{1}{5} = \frac{2}{2x + 3} \] \[ 2x + 3 = 10 \] \[ 2x = 7 \] \[ x = 3,5 \] Ответ: \(x = 3,5\).