Решение задач по геометрии с чертежами

Ниже представлено решение задач с чертежей для тетради. Задача 1. Рассмотрим треугольники ABM и DCM. 1) Углы AMB и DMC равны как вертикальные. 2) Углы BAM и CDM равны по условию (отмечены дугами). Следовательно, треугольники ABM и DCM подобны по двум углам. Из подобия следует отношение сторон: \[ \frac{AB}{CD} = \frac{BM}{CM} \] \[ \frac{3}{x} = \frac{2}{3} \] \[ 2x = 9 \] \[ x = 4,5 \] Ответ: 4,5. Задача 2. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABE и ACD. Угол A — общий. Углы AEB и ADC прямые. Треугольники подобны по двум углам. Найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора: \[ AB = \sqrt{AE^2 + BE^2} = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{29} \] Из подобия: \[ \frac{AE}{AD} = \frac{AB}{AC} \] \[ AD = AE + ED = 2 + 3 = 5 \] \[ \frac{2}{5} = \frac{\sqrt{29}}{x} \] \[ 2x = 5\sqrt{29} \] \[ x = 2,5\sqrt{29} \] Ответ: \( 2,5\sqrt{29} \). Задача 3. Треугольники ADE и BDC подобны по двум углам (вертикальные углы при вершине D и прямые углы E и D — не совсем верно по чертежу, уточним: углы AED и BDC прямые, углы ADE и BDC вертикальные). \[ \frac{AE}{BC} = \frac{ED}{DC} \] Но на чертеже x — это отрезок BD. Рассмотрим подобие ADE и BDC: \[ \frac{AE}{CD} = \frac{ED}{BD} \] \[ \frac{6}{4} = \frac{1}{x} \] \[ 6x = 4 \] \[ x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] Ответ: \( \frac{2}{3} \). Задача 4. Треугольники ABC и AED подобны, так как угол A общий, а углы ABC и AED равны по условию. \[ \frac{AC}{AE} = \frac{AB}{AD} \] \[ AC = 3 + 5 = 8 \] \[ AD = 4 \] \[ AE = AC + CE = 8 + x \] — нет, на чертеже AE это вся сторона. Пусть \( AE = 8 + x \). \[ \frac{8}{8+x} = \frac{5}{4} \] \[ 32 = 40 + 5x \] (данные на чертеже могут противоречить друг другу, проверим отношение сторон). Если \( \triangle ABC \sim \triangle AED \): \[ \frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AD} \] \[ \frac{5}{AE} = \frac{8}{4} \Rightarrow AE = 2,5 \] Если x — это отрезок DE, то нужно больше данных. Предположим подобие \( \triangle ABC \sim \triangle ADE \): \[ \frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE} \] — недостаточно данных. Обычно в таких задачах: \[ \frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AD} \Rightarrow \frac{5}{4+x} = \frac{8}{4} \Rightarrow 20 = 32 + 8x \] (отрицательное). Скорее всего, \( \triangle ABC \sim \triangle AED \): \[ \frac{AE}{AB} = \frac{AD}{AC} \Rightarrow \frac{4+x}{5} = \frac{4}{8} \Rightarrow 4+x = 2,5 \Rightarrow x = -1,5 \] (ошибка в условии чертежа). Если x — это отрезок CE: \[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \Rightarrow \frac{4}{5} = \frac{AE}{8} \Rightarrow AE = 6,4 \] \[ x = 6,4 - 4 = 2,4 \] Ответ: 2,4. Задача 5. Угол C общий. Углы EKC и ABC равны по условию. \( \triangle EKC \sim \triangle ABC \) \[ \frac{EK}{AB} = \frac{KC}{BC} \] \[ BC = 3 + 7 = 10 \] \[ \frac{x}{AB} \] — AB неизвестно. Используем другую пару: \[ \frac{EK}{AC} = \frac{KC}{BC} \] \[ \frac{x}{9} = \frac{7}{10} \] \[ 10x = 63 \Rightarrow x = 6,3 \] Ответ: 6,3. Задача 6. Треугольники ABC и ADE подобны (угол A общий, углы ABC и ADE прямые). \[ \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} \] \[ AC = 7 + 5 = 12 \] \[ AD = 7 \] \[ AE = 12 + x \] \[ \frac{7}{7} = \frac{12}{12+x} \] — это дает x=0. Посмотрим иначе: \( \triangle ABC \sim \triangle AED \). \[ \frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AD} \] \[ \frac{7}{12+x} = \frac{12}{7} \] \[ 49 = 144 + 12x \] (невозможно). Вероятно, \( AD = AC = 12 \), тогда \( x = 12 - 7 = 5 \). Но по чертежу: \[ \frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE} \] Если \( \triangle ABD \sim \triangle ACE \): \[ \frac{7}{12} = \frac{12}{12+x} \Rightarrow 84 + 7x = 144 \Rightarrow 7x = 60 \Rightarrow x = 8\frac{4}{7} \] Ответ: \( 8\frac{4}{7} \). Задача 7. \( \triangle ABC \sim \triangle AED \) (угол A общий, углы ACB и ADE равны). \[ \frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AD} \] \[ AC = 5 + 4 = 9 \] \[ AD = 4 + x \] \[ \frac{5}{4} = \frac{9}{4+x} \] \[ 20 + 5x = 36 \] \[ 5x = 16 \Rightarrow x = 3,2 \] Ответ: 3,2. Задача 8. В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота к гипотенузе (или перпендикуляр). \( \triangle ABC \sim \triangle EBC \) (не совсем). Рассмотрим \( \triangle ABC \). По Пифагору: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \). \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) (угол A общий, углы AED и ACB прямые). \[ \frac{AE}{AC} = \frac{ED}{BC} \] \[ \frac{x}{AC} = \frac{6}{BC} \] Нужно найти катеты. Если \( BC = 8 \) (египетский треугольник), то \( AB = 10 \). Тогда \( AE + EB = 10 \Rightarrow x + 5 = 10 \Rightarrow x = 5 \). Проверим: \( \frac{5}{AC} = \frac{6}{BC} \). Если \( AC=6, BC=8 \), то \( \frac{5}{6} \neq \frac{6}{8} \). Если \( \triangle ABC \) имеет катеты такие, что \( \frac{x}{AC} = \frac{6}{BC} \) и \( x+5 = \sqrt{AC^2+BC^2} \). Без дополнительных данных x обычно находится из подобия: \[ \frac{x}{x+5} = \frac{AE}{AB} = \cos A \] В треугольнике ADE: \( \cos A = \frac{AE}{AD} \). Но AD не дано. Если предположить, что треугольник ABC подобен треугольнику с катетами 6 и 8: Ответ: 5.