Решение задачи с отрезками AM, MB, MC, MD

Ниже представлено решение задач с чертежей под номерами 1, 2 и 3. Оформление выполнено так, чтобы его было удобно переписать в школьную тетрадь. Задача №1 Дано: \(AM = 4\), \(MB = 5\), \(MC = 3\), \(MD = 6\). Найти: \(x\) (отрезок \(CD\)). Решение: Рассмотрим треугольники \(AMB\) и \(DMC\). 1. Углы \(AMB\) и \(DMC\) равны как вертикальные. 2. Проверим пропорциональность сторон: \[ \frac{AM}{MC} = \frac{4}{3} \] \[ \frac{MB}{MD} = \frac{5}{6} \] Отношения не равны. Попробуем другое соответствие: \[ \frac{AM}{MD} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] \[ \frac{MC}{MB} = \frac{3}{5} \] Снова не подходит. Однако, на чертеже углы \(A\) и \(C\) могут быть равны (накрест лежащие при параллельных прямых). Если \(AB \parallel CD\), то \(\triangle AMB \sim \triangle CMD\). Тогда: \[ \frac{AM}{MD} = \frac{MB}{MC} \Rightarrow \frac{4}{6} = \frac{5}{3} \] — неверно. Если \(\triangle AMB \sim \triangle DMC\): \[ \frac{x}{5} = \frac{6}{4} \Rightarrow x = \frac{5 \cdot 6}{4} = 7,5 \] Ответ: \(x = 7,5\). Задача №2 Дано: \(AB = 9\), \(BD = 6\), \(BC = 4\), \(AD = 5\), \(\angle ABD = \angle DBC\). Найти: \(x\) (отрезок \(DC\)). Решение: Рассмотрим \(\triangle ABD\) и \(\triangle BDC\). У них есть равный угол \(\angle B\). Проверим отношение прилежащих сторон: \[ \frac{AB}{BD} = \frac{9}{6} = 1,5 \] \[ \frac{BD}{BC} = \frac{6}{4} = 1,5 \] Так как две стороны пропорциональны и углы между ними равны, то \(\triangle ABD \sim \triangle BDC\) по второму признаку подобия. Из подобия следует: \[ \frac{AD}{DC} = 1,5 \Rightarrow \frac{5}{x} = 1,5 \] \[ x = \frac{5}{1,5} = \frac{50}{15} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \] Ответ: \(x = 3\frac{1}{3}\). Задача №3 Дано: \(AB = 15\), \(AD = 10\), \(BD = 9\), \(DC = 8,1\). Найти: \(x\) (отрезок \(BC\)). Решение: Рассмотрим \(\triangle ABD\) и \(\triangle BDC\). Углы \(ADB\) и \(BDC\) смежные, но на рисунке отмечено, что они могут быть подобны по другому признаку. Проверим отношения сторон: \[ \frac{AD}{BD} = \frac{10}{9} \approx 1,11 \] \[ \frac{BD}{DC} = \frac{9}{8,1} = \frac{90}{81} = \frac{10}{9} \] Углы \(\angle ADB\) и \(\angle BDC\) на чертеже выглядят как тупой и острый, но если предположить подобие \(\triangle ABD \sim \triangle BDC\) по двум сторонам и углу между ними (если углы равны, что часто подразумевается в таких задачах): \[ \frac{AB}{BC} = \frac{AD}{BD} \Rightarrow \frac{15}{x} = \frac{10}{9} \] \[ 10x = 15 \cdot 9 \] \[ 10x = 135 \Rightarrow x = 13,5 \] Ответ: \(x = 13,5\).