Решение тренировочного варианта: Метод координат

Решение тренировочного варианта по теме "Метод координат" Обязательная часть 1. Даны векторы \(\vec{m}(-2; 7)\) и \(\vec{n}(4; -1)\). Найдите координаты вектора \(\vec{b} = 2\vec{m} - 3\vec{n}\). Решение: Сначала найдем координаты векторов \(2\vec{m}\) и \(3\vec{n}\): \[2\vec{m} = (2 \cdot (-2); 2 \cdot 7) = (-4; 14)\] \[3\vec{n} = (3 \cdot 4; 3 \cdot (-1)) = (12; -3)\] Теперь найдем разность векторов: \[\vec{b} = (-4 - 12; 14 - (-3)) = (-16; 17)\] Ответ: \(\vec{b}(-16; 17)\). 2. Определите длину отрезка AB. Решение: По графику определим координаты точек: \(A(-8; 4)\) и \(B(-2; -2)\). Формула длины отрезка: \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\). \[AB = \sqrt{(-2 - (-8))^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{6^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\] Ответ: \(6\sqrt{2}\). 3. Вычислите координаты середины отрезка AB. Решение: Используем координаты точек из предыдущей задачи: \(A(-8; 4)\) и \(B(-2; -2)\). Координаты середины \(M(x; y)\): \[x = \frac{-8 + (-2)}{2} = \frac{-10}{2} = -5\] \[y = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1\] Ответ: \((-5; 1)\). 4. Перпендикулярны ли векторы \(\vec{k}(-15; 5)\) и \(\vec{l}(4; 12)\)? Решение: Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. \[\vec{k} \cdot \vec{l} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = -15 \cdot 4 + 5 \cdot 12 = -60 + 60 = 0\] Так как скалярное произведение равно 0, векторы перпендикулярны. Ответ: Да. Дополнительная часть 5. Даны векторы \(\vec{m}(3; 1)\), \(\vec{n}(0; -2)\), \(\vec{k}(-5; 3)\). Найти \(|\vec{a}|\), если \(\vec{a} = \vec{m} - 0,5\vec{n} + 2\vec{k}\). Решение: Найдем координаты вектора \(\vec{a}\): \[\vec{a} = (3 - 0,5 \cdot 0 + 2 \cdot (-5); 1 - 0,5 \cdot (-2) + 2 \cdot 3)\] \[\vec{a} = (3 - 0 - 10; 1 + 1 + 6) = (-7; 8)\] Найдем модуль вектора: \[|\vec{a}| = \sqrt{(-7)^2 + 8^2} = \sqrt{49 + 64} = \sqrt{113}\] Ответ: \(\sqrt{113}\). 6. Даны точки \(A(1; 5)\) и \(B(9; -1)\). Составьте уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок AB. Найдите точки пересечения с прямой \(y = 2\). Решение: Центр окружности \(O\) — середина AB: \[x_0 = \frac{1+9}{2} = 5, y_0 = \frac{5-1}{2} = 2 \Rightarrow O(5; 2)\] Радиус \(R\) равен половине AB: \[AB = \sqrt{(9-1)^2 + (-1-5)^2} = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = 10 \Rightarrow R = 5\] Уравнение окружности: \((x - 5)^2 + (y - 2)^2 = 25\). При \(y = 2\): \[(x - 5)^2 + (2 - 2)^2 = 25 \Rightarrow (x - 5)^2 = 25\] \[x - 5 = 5 \Rightarrow x_1 = 10; x - 5 = -5 \Rightarrow x_2 = 0\] Ответ: \((x - 5)^2 + (y - 2)^2 = 25\); точки \((10; 2)\) и \((0; 2)\). 7. Как относится площадь треугольника, сторонами которого служат средние линии треугольника ABC, к площади треугольника ABC? Решение: Средние линии образуют треугольник, подобный исходному с коэффициентом \(k = 1/2\). Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия: \[\frac{S_{mid}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\] Ответ: \(1:4\). 8. Дан квадрат ABCD. Найдите угол между векторами \(\vec{AD}\) и \(\vec{BA}\). Решение: Вектор \(\vec{BA}\) направлен противоположно вектору \(\vec{AB}\). Угол между \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\) равен \(90^\circ\). Угол между \(\vec{AD}\) и \(\vec{BA}\) будет смежным к углу между \(\vec{AD}\) и \(\vec{AB}\) при совмещении начал векторов. \[\angle(\vec{AD}, \vec{BA}) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\] Ответ: \(90^\circ\). 9. Дан ромб ABCD. Диагональ AC равна стороне ромба. Найдите угол между векторами \(\vec{BC}\) и \(\vec{DC}\). Решение: Если \(AC = AB = BC\), то треугольник ABC — равносторонний, \(\angle B = 60^\circ\). В ромбе \(\angle D = \angle B = 60^\circ\). Векторы \(\vec{BC}\) и \(\vec{DC}\) выходят из разных точек, но если их совместить началами, угол между ними будет равен углу C ромба. \(\angle C = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). Ответ: \(120^\circ\). 10. Вычислите скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\), если \(|\vec{a}|=5, |\vec{b}|=6\), угол \(30^\circ\). Решение: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos 30^\circ = 5 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}\] Ответ: \(15\sqrt{3}\). 11. Вычислите скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\), если \(|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=7\), угол \(120^\circ\). Решение: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 7 \cdot \cos 120^\circ = 14 \cdot (-0,5) = -7\] Ответ: \(-7\). 12. В равностороннем треугольнике ABC со стороной \(a\) проведена высота BD. Вычислите \(\vec{CD} \cdot \vec{BC}\). Решение: В равностороннем треугольнике высота является медианой, значит \(CD = a/2\). Угол между векторами \(\vec{CD}\) (направлен от C к D) и \(\vec{BC}\) (направлен от B к C). Угол между ними равен \(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\) (если совместить начала векторов в точке C). \[\vec{CD} \cdot \vec{BC} = |\vec{CD}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos 120^\circ = \frac{a}{2} \cdot a \cdot (-0,5) = -\frac{a^2}{4}\] Ответ: \(-\frac{a^2}{4}\).