Решение задачи про треугольник ABC с теоремой синусов

Выберите все верные утверждения для треугольника \(ABC\):

Объяснение:

Для решения этой задачи нам нужно вспомнить теорему синусов. Теорема синусов гласит, что в любом треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего угла является постоянной величиной.

Для треугольника \(ABC\) со сторонами \(a, b, c\) и углами \(\angle A, \angle B, \angle C\) (где \(a\) – сторона, противолежащая углу \(\angle A\), \(b\) – стороне, противолежащей углу \(\angle B\), и \(c\) – стороне, противолежащей углу \(\angle C\)), теорема синусов записывается так:

На рисунке обозначены стороны: \(BC = a\), \(AC = b\), \(AB = c\).

Рассмотрим каждое утверждение:

1. \(\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}\)

Подставим обозначения сторон: \(\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}\). Это утверждение соответствует теореме синусов и является верным.

2. \(\frac{AC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}\)

Подставим обозначения сторон: \(\frac{b}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}\). Это утверждение не соответствует теореме синусов, так как сторона \(b\) (AC) противолежит углу \(\angle B\), а не \(\angle A\). Верное соотношение было бы \(\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\). Поэтому это утверждение неверно.

3. \(\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}\)

Это утверждение является прямой записью части теоремы синусов и является верным.

4. \(a \cdot \sin A = c \cdot \sin C\)

Из теоремы синусов мы знаем, что \(\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}\). Если мы перемножим крест-накрест, то получим \(a \cdot \sin C = c \cdot \sin A\). Данное утверждение \(a \cdot \sin A = c \cdot \sin C\) не соответствует этому и является неверным.

Верные утверждения:

1. \(\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}\)
2. \(\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}\)