Задача:
Дан треугольник \(OPD\). Найдите \(OD\), если известно, что \(PD\) равна \(7\sqrt{2}\) см, \(\angle O = 45^\circ\) и \(\angle P = 30^\circ\).
Дано:
Треугольник \(OPD\)
Сторона \(PD = 7\sqrt{2}\) см
Угол \(\angle O = 45^\circ\)
Угол \(\angle P = 30^\circ\)
Найти:
Сторону \(OD\)
Решение:
Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла является постоянной величиной для данного треугольника.
Для треугольника \(OPD\) теорема синусов может быть записана как:
\[\frac{OD}{\sin P} = \frac{PD}{\sin O} = \frac{OP}{\sin D}\]Нам известны сторона \(PD\) и противолежащий ей угол \(\angle O\). Также нам известен угол \(\angle P\), противолежащий стороне \(OD\), которую мы ищем.
Используем часть теоремы синусов:
\[\frac{OD}{\sin P} = \frac{PD}{\sin O}\]Подставим известные значения:
\(PD = 7\sqrt{2}\) см
\(\angle O = 45^\circ\)
\(\angle P = 30^\circ\)
Найдем значения синусов углов:
\(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\)
Теперь подставим эти значения в уравнение:
\[\frac{OD}{\frac{1}{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\]Упростим правую часть уравнения:
\[\frac{7\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 7\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 7 \cdot 2 = 14\]Теперь уравнение выглядит так:
\[\frac{OD}{\frac{1}{2}} = 14\]Чтобы найти \(OD\), умножим обе части уравнения на \(\frac{1}{2}\):
\[OD = 14 \cdot \frac{1}{2}\] \[OD = 7\]Длина стороны \(OD\) равна \(7\) см.
Ответ:
7