Площадь равнобедренного треугольника: решение с пояснениями

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы школьнику было удобно переписать в тетрадь.

Задача:

Найдите площадь равнобедренного треугольника с боковой стороной, равной \(4\), и углом, противолежащим основанию, равным \(45^\circ\).

Дано:

Равнобедренный треугольник.

Боковая сторона \(a = 4\).

Угол, противолежащий основанию (угол при вершине), \(\gamma = 45^\circ\).

Найти:

Площадь треугольника \(S\).

Решение:

Для нахождения площади треугольника, если известны две стороны и угол между ними, используется формула:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)\]

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны. Пусть боковые стороны будут \(a\) и \(b\). Тогда \(a = b = 4\).

Угол \(\gamma\) – это угол между этими двумя боковыми сторонами, который противолежит основанию. По условию, \(\gamma = 45^\circ\).

Подставим известные значения в формулу:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin(45^\circ)\]

Известно, что \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Теперь подставим значение синуса:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Выполним умножение:

\[S = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\] \[S = \frac{8\sqrt{2}}{2}\] \[S = 4\sqrt{2}\]

Площадь равнобедренного треугольника равна \(4\sqrt{2}\) квадратных единиц.

Ответ:

\(4\sqrt{2}\)

Среди предложенных вариантов:

1. \(4\sqrt{2}\)
2. \(\frac{4\sqrt{3}}{2}\)
3. \(\frac{4\sqrt{2}}{2}\)
4. \(4\sqrt{3}\)