Задача: Найдите площадь равнобедренного треугольника с боковой стороной, равной 4 и углом, противолежащим основанию, равным 45°.
Дано:
- Треугольник ABC – равнобедренный.
- Боковая сторона \(a = b = 4\).
- Угол, противолежащий основанию (угол при вершине), \(\gamma = 45^\circ\).
Найти: Площадь треугольника \(S\).
Решение:
Для нахождения площади треугольника, если известны две стороны и угол между ними, можно использовать формулу:
\[S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma\]В нашем случае, так как треугольник равнобедренный, боковые стороны равны \(a = b = 4\). Угол между этими сторонами (угол при вершине, противолежащий основанию) равен \(\gamma = 45^\circ\).
Подставим известные значения в формулу:
\[S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin 45^\circ\]Мы знаем, что \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Продолжим вычисления:
\[S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\] \[S = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\] \[S = \frac{8\sqrt{2}}{2}\] \[S = 4\sqrt{2}\]Ответ: Площадь равнобедренного треугольника равна \(4\sqrt{2}\).