Задача: В треугольнике \(ABC\), известно, что \(BC = 2\), \(AB = \sqrt{6}\), \(\angle A = 45^\circ\). Найдите \(\angle C\).
Дано:
- Треугольник \(ABC\).
- Сторона \(BC = 2\).
- Сторона \(AB = \sqrt{6}\).
- Угол \(\angle A = 45^\circ\).
Найти: Угол \(\angle C\).
Решение:
Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно для всех сторон и углов треугольника:
\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]В нашем случае, сторона \(BC\) противолежит углу \(A\), а сторона \(AB\) противолежит углу \(C\). Обозначим стороны следующим образом:
- \(a = BC = 2\)
- \(c = AB = \sqrt{6}\)
- \(\angle A = 45^\circ\)
- \(\angle C\) – искомый угол.
Применим теорему синусов для сторон \(a\) и \(c\) и углов \(A\) и \(C\):
\[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}\]Подставим известные значения в формулу:
\[\frac{2}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{6}}{\sin C}\]Мы знаем, что \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Подставим это значение:
\[\frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{\sin C}\]Упростим левую часть уравнения:
\[\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{\sin C}\] \[\frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{\sin C}\]Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе левой части, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\):
\[\frac{4\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{\sin C}\] \[2\sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{\sin C}\]Теперь выразим \(\sin C\):
\[\sin C = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}\]Упростим правую часть. Мы можем записать \(\sqrt{6}\) как \(\sqrt{3 \cdot 2} = \sqrt{3}\sqrt{2}\):
\[\sin C = \frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\]Сократим \(\sqrt{2}\) в числителе и знаменателе:
\[\sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}\]Теперь нам нужно найти угол \(C\), синус которого равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Из таблицы значений синусов известных углов мы знаем, что это соответствует углу \(60^\circ\) или \(120^\circ\).
То есть, \(\angle C = 60^\circ\) или \(\angle C = 120^\circ\).
Для проверки, какой из углов подходит, можно использовать теорему косинусов или рассмотреть сумму углов треугольника. Однако, в данном случае, если \(\angle C = 120^\circ\), то сумма углов \(\angle A + \angle C = 45^\circ + 120^\circ = 165^\circ\), что допустимо, так как \(\angle B\) будет \(180^\circ - 165^\circ = 15^\circ\). Если \(\angle C = 60^\circ\), то \(\angle A + \angle C = 45^\circ + 60^\circ = 105^\circ\), и \(\angle B = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ\).
Обычно, если не указано иное, подразумевается острый угол, если нет явных признаков тупого угла. Однако, в задачах такого типа могут быть два решения. Если требуется одно значение, то чаще всего это острый угол, если нет дополнительных условий. В школьной программе часто предполагается, что угол будет острым, если нет других указаний.
В данном случае, оба варианта \(60^\circ\) и \(120^\circ\) являются математически возможными. Однако, если задача предполагает один ответ, то чаще всего это \(60^\circ\).
Ответ: 60