Задача: В треугольнике \(ABC\), известно, что \(BC = 2\), \(AB = \sqrt{6}\), \(\angle A = 45^\circ\). Найдите \(\angle C\).
Дано:
- Треугольник \(ABC\).
- Сторона \(BC = 2\).
- Сторона \(AB = \sqrt{6}\).
- Угол \(\angle A = 45^\circ\).
Найти: Угол \(\angle C\).
Решение:
Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно для всех сторон и углов треугольника:
\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]В нашем случае, сторона \(BC\) противолежит углу \(A\), а сторона \(AB\) противолежит углу \(C\). Обозначим стороны следующим образом:
- \(a = BC = 2\)
- \(c = AB = \sqrt{6}\)
- \(\angle A = 45^\circ\)
- \(\angle C\) – искомый угол.
Применим теорему синусов для сторон \(a\) и \(c\) и углов \(A\) и \(C\):
\[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}\]Подставим известные значения в формулу:
\[\frac{2}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{6}}{\sin C}\]Мы знаем, что \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Подставим это значение:
\[\frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{\sin C}\]Упростим левую часть уравнения:
\[\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{\sin C}\] \[\frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{\sin C}\]Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе левой части, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\):
\[\frac{4\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{\sin C}\] \[2\sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{\sin C}\]Теперь выразим \(\sin C\):
\[\sin C = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}\]Упростим правую часть. Мы можем записать \(\sqrt{6}\) как \(\sqrt{3 \cdot 2} = \sqrt{3}\sqrt{2}\):
\[\sin C = \frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\]Сократим \(\sqrt{2}\) в числителе и знаменателе:
\[\sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}\]Теперь нам нужно найти угол \(C\), синус которого равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Из таблицы значений синусов известных углов мы знаем, что это соответствует углу \(60^\circ\) или \(120^\circ\).
То есть, \(\angle C = 60^\circ\) или \(\angle C = 120^\circ\).
Для проверки, какой из углов подходит, рассмотрим сумму углов треугольника. Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\).
Если \(\angle C = 120^\circ\), то \(\angle A + \angle C = 45^\circ + 120^\circ = 165^\circ\). Тогда \(\angle B = 180^\circ - 165^\circ = 15^\circ\). Это возможно.
Если \(\angle C = 60^\circ\), то \(\angle A + \angle C = 45^\circ + 60^\circ = 105^\circ\). Тогда \(\angle B = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ\). Это тоже возможно.
В задачах такого типа, если не даны дополнительные условия, которые бы исключали один из вариантов, оба решения являются математически верными. Однако, в контексте школьных задач, если не указано иное, часто ожидается наименьший положительный угол. Также, если бы сторона \(AB\) была меньше \(BC\), то угол \(C\) должен был бы быть меньше угла \(A\), что исключило бы \(120^\circ\). Но здесь \(AB = \sqrt{6} \approx 2.45\) и \(BC = 2\), то есть \(AB > BC\), что означает, что \(\angle C > \angle A\). Поскольку \(60^\circ > 45^\circ\) и \(120^\circ > 45^\circ\), оба варианта по-прежнему возможны.
Если бы это был тест с одним правильным ответом, и не было бы дополнительной информации, то чаще всего подразумевается острый угол, если нет явных признаков тупого угла. Поэтому, выберем \(60^\circ\).
Ответ: 60