Задача: Чему равен \(\text{tg } \alpha\), если \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\)?
Дано:
- \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
- Угол \(\alpha\) находится в первой четверти: \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\).
Найти: \(\text{tg } \alpha\).
Решение:
1. Сначала определим значение угла \(\alpha\).
Известно, что \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\). В первой четверти (от \(0^\circ\) до \(90^\circ\)) синус равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) для угла \(45^\circ\).
Значит, \(\alpha = 45^\circ\).
2. Теперь найдем \(\text{tg } \alpha\).
Нам нужно найти \(\text{tg } 45^\circ\).
Из таблицы значений тригонометрических функций для стандартных углов известно, что \(\text{tg } 45^\circ = 1\).
Альтернативный способ решения (без нахождения угла):
1. Используем основное тригонометрическое тождество для нахождения \(\cos \alpha\):
\[\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\]Подставим известное значение \(\sin \alpha\):
\[\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1\] \[\frac{2}{4} + \cos^2 \alpha = 1\] \[\frac{1}{2} + \cos^2 \alpha = 1\]Выразим \(\cos^2 \alpha\):
\[\cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{2}\] \[\cos^2 \alpha = \frac{1}{2}\]Извлечем квадратный корень:
\[\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{2}}\] \[\cos \alpha = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}\]Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\):
\[\cos \alpha = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}\]Поскольку угол \(\alpha\) находится в первой четверти (\(0^\circ < \alpha < 90^\circ\)), косинус угла в этой четверти всегда положителен. Поэтому выбираем положительное значение:
\[\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\]2. Теперь найдем \(\text{tg } \alpha\) по формуле:
\[\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\]Подставим найденные значения \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\):
\[\text{tg } \alpha = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\] \[\text{tg } \alpha = 1\]Оба способа приводят к одному и тому же результату.
Ответ: 1