Решение задачи по теореме синусов для треугольника MNK

Отлично! Вы правильно определили верные утверждения, основываясь на теореме синусов. Вот как это можно записать в тетрадь школьнику, чтобы было понятно и аккуратно: ---

Тема: Теорема синусов

Задача: Выберите все верные утверждения для треугольника MNK.

Дано: Треугольник MNK.

• Сторона NK обозначена как \(m\).
• Сторона MK обозначена как \(n\).
• Сторона MN обозначена как \(k\).

Вспомним теорему синусов:

Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон этого треугольника.

Для треугольника MNK это выглядит так:

\[ \frac{\text{сторона MN}}{\sin(\text{угла K})} = \frac{\text{сторона NK}}{\sin(\text{угла M})} = \frac{\text{сторона MK}}{\sin(\text{угла N})} \]

Используя данные обозначения сторон (\(m, n, k\)), мы можем записать теорему синусов следующим образом:

\[ \frac{k}{\sin K} = \frac{m}{\sin M} = \frac{n}{\sin N} \]

Проверим каждое из предложенных утверждений:

1. Утверждение: \[ \frac{NK}{\sin M} = \frac{MN}{\sin K} \]

Подставим обозначения сторон:

\[ \frac{m}{\sin M} = \frac{k}{\sin K} \]

Это равенство соответствует теореме синусов. Значит, утверждение 1 верное.

2. Утверждение: \[ \frac{m}{\sin M} = \frac{k}{\sin K} \]

Это равенство напрямую соответствует части теоремы синусов, записанной с использованием обозначений сторон. Значит, утверждение 2 верное.

3. Утверждение: \[ \frac{MK}{\sin M} = \frac{MN}{\sin K} \]

Подставим обозначения сторон:

\[ \frac{n}{\sin M} = \frac{k}{\sin K} \]

Согласно теореме синусов, сторона \(MK\) (которая равна \(n\)) должна относиться к синусу угла \(N\), а не к синусу угла \(M\). То есть, должно быть \[ \frac{n}{\sin N} = \frac{k}{\sin K} \]. Поэтому утверждение 3 неверное.

4. Утверждение: \[ m \cdot \sin M = k \cdot \sin K \]

Возьмем верное равенство из теоремы синусов: \[ \frac{m}{\sin M} = \frac{k}{\sin K} \]

Чтобы получить произведение, умножим обе части на \(\sin M \cdot \sin K\):

\[ m \cdot \sin K = k \cdot \sin M \]

Предложенное утверждение \[ m \cdot \sin M = k \cdot \sin K \] отличается от полученного нами верного равенства. Поэтому утверждение 4 неверное.

Вывод:

Верными утверждениями являются первое и второе.

Ответ:

Верные утверждения:

1. \[ \frac{NK}{\sin M} = \frac{MN}{\sin K} \]
2. \[ \frac{m}{\sin M} = \frac{k}{\sin K} \]

---