Поиск стороны
В треугольнике \(KMN\) найдите \(MN\), если известно, что \(KN\) равна \(5\sqrt{2}\) см, \(\angle M = 45^\circ\) и \(\angle K = 30^\circ\).
Решение:
Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов.
Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно для всех сторон и углов этого треугольника. То есть:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]В нашем треугольнике \(KMN\) стороны и углы соотносятся следующим образом:
- Сторона \(MN\) лежит напротив угла \(\angle K\).
- Сторона \(KN\) лежит напротив угла \(\angle M\).
- Сторона \(KM\) лежит напротив угла \(\angle N\).
Нам известны:
- Сторона \(KN = 5\sqrt{2}\) см.
- Угол \(\angle M = 45^\circ\).
- Угол \(\angle K = 30^\circ\).
Нам нужно найти сторону \(MN\).
Применим теорему синусов для сторон \(MN\) и \(KN\):
\[ \frac{MN}{\sin \angle K} = \frac{KN}{\sin \angle M} \]Подставим известные значения в формулу:
\[ \frac{MN}{\sin 30^\circ} = \frac{5\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} \]Теперь найдем значения синусов углов:
- \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)
- \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Подставим эти значения в уравнение:
\[ \frac{MN}{\frac{1}{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]Упростим правую часть уравнения:
\[ \frac{5\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 5\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 5 \cdot 2 = 10 \]Теперь уравнение выглядит так:
\[ \frac{MN}{\frac{1}{2}} = 10 \]Чтобы найти \(MN\), умножим обе части уравнения на \(\frac{1}{2}\):
\[ MN = 10 \cdot \frac{1}{2} \] \[ MN = 5 \]Таким образом, длина стороны \(MN\) равна 5 см.
Ответ:
5