Теорема синусов
В треугольнике \(ABC\), известно, что \(BC = 4\), \(AB = \sqrt{24}\), \(\angle A = 45^\circ\).
Найдите \(\angle C\).
Решение:
Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов.
Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно для всех сторон и углов этого треугольника. То есть:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]В нашем треугольнике \(ABC\) стороны и углы соотносятся следующим образом:
- Сторона \(BC\) лежит напротив угла \(\angle A\).
- Сторона \(AB\) лежит напротив угла \(\angle C\).
- Сторона \(AC\) лежит напротив угла \(\angle B\).
Нам известны:
- Сторона \(BC = 4\).
- Сторона \(AB = \sqrt{24}\).
- Угол \(\angle A = 45^\circ\).
Нам нужно найти угол \(\angle C\).
Применим теорему синусов для сторон \(BC\) и \(AB\):
\[ \frac{BC}{\sin \angle A} = \frac{AB}{\sin \angle C} \]Подставим известные значения в формулу:
\[ \frac{4}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{24}}{\sin \angle C} \]Найдем значение \(\sin 45^\circ\):
- \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Подставим это значение в уравнение:
\[ \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{24}}{\sin \angle C} \]Упростим левую часть уравнения:
\[ \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} \]Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\):
\[ \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \]Теперь упростим \(\sqrt{24}\):
\[ \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6} \]Теперь уравнение выглядит так:
\[ 4\sqrt{2} = \frac{2\sqrt{6}}{\sin \angle C} \]Выразим \(\sin \angle C\):
\[ \sin \angle C = \frac{2\sqrt{6}}{4\sqrt{2}} \]Упростим выражение для \(\sin \angle C\):
\[ \sin \angle C = \frac{2\sqrt{6}}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} \]Разделим \(\sqrt{6}\) на \(\sqrt{2}\):
\[ \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{3} \]Тогда:
\[ \sin \angle C = \frac{\sqrt{3}}{2} \]Мы знаем, что угол, синус которого равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), это \(60^\circ\) или \(120^\circ\).
В треугольнике сумма углов равна \(180^\circ\). Если \(\angle A = 45^\circ\), то:
- Если \(\angle C = 60^\circ\), то \(\angle B = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ\). Это возможный треугольник.
- Если \(\angle C = 120^\circ\), то \(\angle B = 180^\circ - 45^\circ - 120^\circ = 15^\circ\). Это также возможный треугольник.
В задачах школьного курса, если не указано иное, обычно подразумевается наименьший положительный угол. Поэтому выбираем \(60^\circ\).
\[ \angle C = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \] \[ \angle C = 60^\circ \]Ответ:
60