Решение: Получение передаточной функции из дифференциального уравнения

Отлично, давайте разберем каждую задачу по порядку.

Задача 1. Из дифференциального уравнения получить передаточную функцию:

\[ LC \frac{d^2 U_{вых}(t)}{dt^2} + RC \frac{dU_{вых}(t)}{dt} + U_{вых}(t) = U_{вх}(t) \] Для получения передаточной функции необходимо применить преобразование Лапласа к обеим частям дифференциального уравнения, предполагая нулевые начальные условия. Преобразование Лапласа для производных: \[ \mathcal{L}\left\{ \frac{d^2 f(t)}{dt^2} \right\} = p^2 F(p) \] \[ \mathcal{L}\left\{ \frac{df(t)}{dt} \right\} = p F(p) \] \[ \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} = F(p) \] Применяем преобразование Лапласа к нашему уравнению: \[ LC p^2 U_{вых}(p) + RC p U_{вых}(p) + U_{вых}(p) = U_{вх}(p) \] Выносим \(U_{вых}(p)\) за скобки: \[ U_{вых}(p) (LC p^2 + RC p + 1) = U_{вх}(p) \] Передаточная функция \(W(p)\) определяется как отношение выходного сигнала к входному в операторной форме: \[ W(p) = \frac{U_{вых}(p)}{U_{вх}(p)} \] Таким образом, получаем: \[ W(p) = \frac{1}{LC p^2 + RC p + 1} \]

Задача 2. По передаточной функции типового динамического звена построить ЛАЧХ:

К сожалению, в условии задачи не указана конкретная передаточная функция типового динамического звена. Для построения ЛАЧХ (логарифмической амплитудно-частотной характеристики) необходимо знать вид передаточной функции (например, апериодическое звено первого порядка, интегрирующее звено, колебательное звено и т.д.). Если бы была дана передаточная функция, например, апериодического звена первого порядка: \[ W(p) = \frac{K}{T p + 1} \] Тогда ЛАЧХ строится следующим образом: 1. Находим модуль передаточной функции: \[ |W(j\omega)| = \frac{K}{\sqrt{(T\omega)^2 + 1}} \] 2. Вычисляем логарифм модуля: \[ L(\omega) = 20 \log_{10} |W(j\omega)| = 20 \log_{10} K - 20 \log_{10} \sqrt{(T\omega)^2 + 1} \] \[ L(\omega) = 20 \log_{10} K - 10 \log_{10} ((T\omega)^2 + 1) \] 3. Строим асимптотическую ЛАЧХ: * При \(\omega \to 0\), \(L(\omega) \approx 20 \log_{10} K\). Это горизонтальная асимптота. * При \(\omega \to \infty\), \(L(\omega) \approx 20 \log_{10} K - 20 \log_{10} (T\omega) = 20 \log_{10} K - 20 \log_{10} T - 20 \log_{10} \omega\). Это наклонная асимптота с наклоном -20 дБ/дек. * Частота сопряжения (излома) \(\omega_с = \frac{1}{T}\). Без конкретной передаточной функции построить ЛАЧХ невозможно.

Задача 3. Для простейшей автоматической системы, изображённой на структурной схеме, найти передаточную функцию разомкнутой и замкнутой САУ.

Рассмотрим структурную схему. В прямом канале последовательно соединены три звена: 1. \(W_1(p) = \frac{k_1}{T_1 p + 1}\) 2. \(W_2(p) = \frac{k_2}{T_2 p}\) 3. \(W_3(p) = k_3 p\) (это звено обратной связи, но оно включено в прямой канал после суммирующего элемента, что не совсем стандартно для классической схемы. Давайте внимательно посмотрим на схему. Звено \(W(p)=k_3*p\) находится в параллельной ветви, которая суммируется с выходом \(W_2(p)\) перед выходом \(y(t)\). Это не обратная связь, а скорее параллельное соединение в прямом канале.) Давайте перерисуем и проанализируем схему. Вход \(x(t)\) поступает на первый суммирующий элемент. Выход первого суммирующего элемента поступает на \(W_1(p)\). Выход \(W_1(p)\) поступает на \(W_2(p)\). Выход \(W_2(p)\) поступает на второй суммирующий элемент. Параллельно, выход первого суммирующего элемента также поступает на \(W_3(p)\), и выход \(W_3(p)\) также поступает на второй суммирующий элемент. Выход второго суммирующего элемента - это \(y(t)\). Обратная связь идет с выхода \(y(t)\) на первый суммирующий элемент. Это сложная схема. Давайте обозначим сигналы: * \(X(p)\) - входной сигнал * \(Y(p)\) - выходной сигнал * \(E(p)\) - сигнал ошибки (выход первого суммирующего элемента) * \(U_1(p)\) - выход \(W_1(p)\) * \(U_2(p)\) - выход \(W_2(p)\) * \(U_3(p)\) - выход \(W_3(p)\) Из схемы: 1. \(E(p) = X(p) - Y(p)\) (обратная связь отрицательная) 2. \(U_1(p) = W_1(p) E(p)\) 3. \(U_2(p) = W_2(p) U_1(p)\) 4. \(U_3(p) = W_3(p) E(p)\) 5. \(Y(p) = U_2(p) + U_3(p)\) (второй суммирующий элемент) Подставим выражения друг в друга: \(Y(p) = W_2(p) U_1(p) + W_3(p) E(p)\) \(Y(p) = W_2(p) (W_1(p) E(p)) + W_3(p) E(p)\) \(Y(p) = (W_1(p) W_2(p) + W_3(p)) E(p)\) Теперь подставим \(E(p) = X(p) - Y(p)\): \(Y(p) = (W_1(p) W_2(p) + W_3(p)) (X(p) - Y(p))\) \(Y(p) = (W_1(p) W_2(p) + W_3(p)) X(p) - (W_1(p) W_2(p) + W_3(p)) Y(p)\) Перенесем члены с \(Y(p)\) в левую часть: \(Y(p) + (W_1(p) W_2(p) + W_3(p)) Y(p) = (W_1(p) W_2(p) + W_3(p)) X(p)\) \(Y(p) (1 + W_1(p) W_2(p) + W_3(p)) = (W_1(p) W_2(p) + W_3(p)) X(p)\)

Передаточная функция замкнутой САУ:

\[ W_{замк}(p) = \frac{Y(p)}{X(p)} = \frac{W_1(p) W_2(p) + W_3(p)}{1 + W_1(p) W_2(p) + W_3(p)} \] Теперь подставим конкретные выражения для \(W_1(p)\), \(W_2(p)\) и \(W_3(p)\): \[ W_1(p) W_2(p) = \frac{k_1}{T_1 p + 1} \cdot \frac{k_2}{T_2 p} = \frac{k_1 k_2}{T_2 p (T_1 p + 1)} \] Тогда числитель: \[ W_1(p) W_2(p) + W_3(p) = \frac{k_1 k_2}{T_2 p (T_1 p + 1)} + k_3 p \] Приведем к общему знаменателю: \[ = \frac{k_1 k_2 + k_3 p \cdot T_2 p (T_1 p + 1)}{T_2 p (T_1 p + 1)} \] \[ = \frac{k_1 k_2 + k_3 T_2 p^2 (T_1 p + 1)}{T_2 p (T_1 p + 1)} \] \[ = \frac{k_1 k_2 + k_3 T_1 T_2 p^3 + k_3 T_2 p^2}{T_2 p (T_1 p + 1)} \] \[ = \frac{k_3 T_1 T_2 p^3 + k_3 T_2 p^2 + k_1 k_2}{T_2 p (T_1 p + 1)} \] Теперь подставим это в формулу для \(W_{замк}(p)\): \[ W_{замк}(p) = \frac{\frac{k_3 T_1 T_2 p^3 + k_3 T_2 p^2 + k_1 k_2}{T_2 p (T_1 p + 1)}}{1 + \frac{k_3 T_1 T_2 p^3 + k_3 T_2 p^2 + k_1 k_2}{T_2 p (T_1 p + 1)}} \] \[ W_{замк}(p) = \frac{k_3 T_1 T_2 p^3 + k_3 T_2 p^2 + k_1 k_2}{T_2 p (T_1 p + 1) + k_3 T_1 T_2 p^3 + k_3 T_2 p^2 + k_1 k_2} \] Раскроем скобки в знаменателе: \[ T_1 T_2 p^2 + T_2 p + k_3 T_1 T_2 p^3 + k_3 T_2 p^2 + k_1 k_2 \] Упорядочим по степеням \(p\): \[ k_3 T_1 T_2 p^3 + (T_1 T_2 + k_3 T_2) p^2 + T_2 p + k_1 k_2 \] Итак, передаточная функция замкнутой САУ: \[ W_{замк}(p) = \frac{k_3 T_1 T_2 p^3 + k_3 T_2 p^2 + k_1 k_2}{k_3 T_1 T_2 p^3 + (T_1 T_2 + k_3 T_2) p^2 + T_2 p + k_1 k_2} \]

Передаточная функция разомкнутой САУ:

Передаточная функция разомкнутой САУ - это произведение передаточных функций всех звеньев прямого канала, если бы обратная связь была разомкнута. В данном случае, это выражение, которое стоит в числителе и знаменателе формулы замкнутой системы (без единицы в знаменателе). \[ W_{разомк}(p) = W_1(p) W_2(p) + W_3(p) \] \[ W_{разомк}(p) = \frac{k_3 T_1 T_2 p^3 + k_3 T_2 p^2 + k_1 k_2}{T_2 p (T_1 p + 1)} \]

Задача 4. Оценить устойчивость замкнутой САУ, если задана передаточная функция разомкнутой САУ:

\[ W(p) = \frac{100}{(0.1p + 1) \cdot (p + 1) \cdot (10p + 1)} \] Это передаточная функция разомкнутой системы. Для оценки устойчивости замкнутой системы по передаточной функции разомкнутой системы, необходимо составить характеристическое уравнение замкнутой системы. Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид: \[ 1 + W(p) = 0 \] Подставим \(W(p)\): \[ 1 + \frac{100}{(0.1p + 1)(p + 1)(10p + 1)} = 0 \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{(0.1p + 1)(p + 1)(10p + 1) + 100}{(0.1p + 1)(p + 1)(10p + 1)} = 0 \] Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому приравниваем к нулю числитель: \[ (0.1p + 1)(p + 1)(10p + 1) + 100 = 0 \] Раскроем скобки: Сначала перемножим первые две скобки: \[ (0.1p + 1)(p + 1) = 0.1p^2 + 0.1p + p + 1 = 0.1p^2 + 1.1p + 1 \] Теперь умножим результат на \((10p + 1)\): \[ (0.1p^2 + 1.1p + 1)(10p + 1) = \] \[ = 0.1p^2 \cdot 10p + 0.1p^2 \cdot 1 + 1.1p \cdot 10p + 1.1p \cdot 1 + 1 \cdot 10p + 1 \cdot 1 \] \[ = p^3 + 0.1p^2 + 11p^2 + 1.1p + 10p + 1 \] \[ = p^3 + (0.1 + 11)p^2 + (1.1 + 10)p + 1 \] \[ = p^3 + 11.1p^2 + 11.1p + 1 \] Теперь добавим 100: \[ p^3 + 11.1p^2 + 11.1p + 1 + 100 = 0 \] \[ p^3 + 11.1p^2 + 11.1p + 101 = 0 \] Это характеристическое уравнение замкнутой системы. Для оценки устойчивости используем критерий устойчивости Рауса-Гурвица. Составим таблицу Рауса: Коэффициенты уравнения: \(a_3 = 1\), \(a_2 = 11.1\), \(a_1 = 11.1\), \(a_0 = 101\). | Строка | \(p^3\) | \(a_3\) | \(a_1\) | |---|---|---|---| | 1 | \(p^3\) | 1 | 11.1 | | 2 | \(p^2\) | 11.1 | 101 | | 3 | \(p^1\) | \(b_1\) | 0 | | 4 | \(p^0\) | \(c_1\) | 0 | Вычислим \(b_1\): \[ b_1 = \frac{-(a_3 \cdot a_0 - a_2 \cdot a_1)}{a_2} = \frac{-(1 \cdot 101 - 11.1 \cdot 11.1)}{11.1} \] \[ b_1 = \frac{-(101 - 123.21)}{11.1} = \frac{-(-22.21)}{11.1} = \frac{22.21}{11.1} \approx 2.0009 \] Округлим до \(2\). Вычислим \(c_1\): \[ c_1 = \frac{-(a_2 \cdot 0 - b_1 \cdot 101)}{b_1} = \frac{-(-b_1 \cdot 101)}{b_1} = 101 \] Заполним таблицу Рауса: | Строка | \(p^3\) | \(a_3\) | \(a_1\) | |---|---|---|---| | 1 | \(p^3\) | 1 | 11.1 | | 2 | \(p^2\) | 11.1 | 101 | | 3 | \(p^1\) | 2.0009 | 0 | | 4 | \(p^0\) | 101 | 0 | Согласно критерию Рауса-Гурвица, система устойчива, если все коэффициенты в первом столбце таблицы Рауса имеют одинаковый знак (и не равны нулю). В нашем случае, все коэффициенты в первом столбце (1, 11.1,