school
Общие знания
verified
Решено AI
Решение контрольной работы: корни и уравнения
help_outline
Условие задачи
lightbulb
Краткий ответ
На странице представлено подробное решение контрольной работы по алгебре, включающее вычисление выражений с корнями и решение квадратных уравнений. Решения оформлены для удобного списывания.
Подробное решение
Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику.
---
Контрольная работа.
1. Вычислите:
а) \(7 \cdot \sqrt{0,25} - \frac{1}{4} \cdot \sqrt{16}\)
б) \(5 - 3 \cdot \sqrt{\frac{1}{81}}\)
в) \((5\sqrt{3})^2\)
Решение:
а) \(7 \cdot \sqrt{0,25} - \frac{1}{4} \cdot \sqrt{16} = 7 \cdot 0,5 - \frac{1}{4} \cdot 4 = 3,5 - 1 = 2,5\)
б) \(5 - 3 \cdot \sqrt{\frac{1}{81}} = 5 - 3 \cdot \frac{1}{9} = 5 - \frac{3}{9} = 5 - \frac{1}{3} = 4\frac{2}{3}\)
в) \((5\sqrt{3})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75\)
Ответ: а) 2,5; б) \(4\frac{2}{3}\); в) 75.
2. Решите уравнение:
а) \(x^2 = \frac{4}{9}\)
б) \(5x^2 = 0\)
в) \(7x^2 + 7 = 0\)
Решение:
а) \(x^2 = \frac{4}{9}\)
\(x = \pm\sqrt{\frac{4}{9}}\)
\(x = \pm\frac{2}{3}\)
б) \(5x^2 = 0\)
\(x^2 = 0\)
\(x = 0\)
в) \(7x^2 + 7 = 0\)
\(7x^2 = -7\)
\(x^2 = -1\)
Уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.
Ответ: а) \(x = \pm\frac{2}{3}\); б) \(x = 0\); в) нет корней.
3. Найдите значение выражения:
а) \(\sqrt{25 \cdot 1,44}\)
б) \(\sqrt{\frac{48}{3}}\)
в) \(\sqrt{64 \cdot 5^2}\)
Решение:
а) \(\sqrt{25 \cdot 1,44} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{1,44} = 5 \cdot 1,2 = 6\)
б) \(\sqrt{\frac{48}{3}} = \sqrt{16} = 4\)
в) \(\sqrt{64 \cdot 5^2} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{5^2} = 8 \cdot 5 = 40\)
Ответ: а) 6; б) 4; в) 40.
4. Упростите выражение:
а) \(0,3b^3 \cdot \sqrt{9b^2}\), если \(b < 0\)
б) \(\frac{1}{5}a^2 \cdot \sqrt{25a^2}\), если \(a > 0\)
Решение:
а) \(0,3b^3 \cdot \sqrt{9b^2}\)
Поскольку \(b < 0\), то \(\sqrt{b^2} = |b| = -b\).
\(0,3b^3 \cdot \sqrt{9b^2} = 0,3b^3 \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{b^2} = 0,3b^3 \cdot 3 \cdot (-b) = 0,9b^3 \cdot (-b) = -0,9b^4\)
б) \(\frac{1}{5}a^2 \cdot \sqrt{25a^2}\)
Поскольку \(a > 0\), то \(\sqrt{a^2} = |a| = a\).
\(\frac{1}{5}a^2 \cdot \sqrt{25a^2} = \frac{1}{5}a^2 \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{a^2} = \frac{1}{5}a^2 \cdot 5 \cdot a = a^2 \cdot a = a^3\)
Ответ: а) \(-0,9b^4\); б) \(a^3\).
5. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:
\(\frac{5}{\sqrt{x-1}}\)
Решение:
Выражение \(\frac{5}{\sqrt{x-1}}\) имеет смысл, если:
1. Подкоренное выражение неотрицательно: \(x-1 \ge 0\).
2. Знаменатель не равен нулю: \(\sqrt{x-1} \ne 0\).
Из первого условия: \(x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1\).
Из второго условия: \(\sqrt{x-1} \ne 0 \Rightarrow x-1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1\).
Объединяя эти два условия, получаем \(x > 1\).
Ответ: Выражение имеет смысл при \(x > 1\).