Решение задачи: Передаточные функции разомкнутой и замкнутой САУ

Задача: Для простейшей автоматической системы, изображённой на структурной схеме, найти передаточную функцию разомкнутой и замкнутой САУ. Решение: 1. Определим передаточные функции элементов системы из структурной схемы: * Первый элемент: \(W_1(p) = \frac{k_1}{T_1 p + 1}\) * Второй элемент: \(W_2(p) = \frac{k_2}{T_2 p}\) * Элемент обратной связи: \(W_{ос}(p) = k_3 p\) 2. Найдем передаточную функцию разомкнутой системы \(W_{разомкн}(p)\). Разомкнутая система представляет собой последовательное соединение элементов \(W_1(p)\) и \(W_2(p)\), а также элемента обратной связи \(W_{ос}(p)\). Передаточная функция разомкнутой системы определяется как произведение передаточных функций всех элементов, входящих в прямой канал и канал обратной связи. \[W_{разомкн}(p) = W_1(p) \cdot W_2(p) \cdot W_{ос}(p)\] Подставим выражения для \(W_1(p)\), \(W_2(p)\) и \(W_{ос}(p)\): \[W_{разомкн}(p) = \frac{k_1}{T_1 p + 1} \cdot \frac{k_2}{T_2 p} \cdot k_3 p\] Упростим выражение: \[W_{разомкн}(p) = \frac{k_1 \cdot k_2 \cdot k_3 \cdot p}{(T_1 p + 1) \cdot T_2 p}\] Сократим \(p\) в числителе и знаменателе: \[W_{разомкн}(p) = \frac{k_1 k_2 k_3}{T_2 (T_1 p + 1)}\] Таким образом, передаточная функция разомкнутой системы: \[W_{разомкн}(p) = \frac{k_1 k_2 k_3}{T_1 T_2 p + T_2}\] 3. Найдем передаточную функцию замкнутой системы \(W_{замкн}(p)\). Для системы с отрицательной обратной связью (как показано на схеме, где сигналы суммируются с вычитанием), передаточная функция замкнутой системы определяется по формуле: \[W_{замкн}(p) = \frac{W_{пр}(p)}{1 + W_{пр}(p) \cdot W_{ос}(p)}\] Где \(W_{пр}(p)\) - передаточная функция прямого канала. В данном случае прямой канал состоит из последовательно соединенных элементов \(W_1(p)\) и \(W_2(p)\). \[W_{пр}(p) = W_1(p) \cdot W_2(p)\] \[W_{пр}(p) = \frac{k_1}{T_1 p + 1} \cdot \frac{k_2}{T_2 p}\] \[W_{пр}(p) = \frac{k_1 k_2}{T_2 p (T_1 p + 1)}\] Теперь подставим \(W_{пр}(p)\) и \(W_{ос}(p)\) в формулу для \(W_{замкн}(p)\): \[W_{замкн}(p) = \frac{\frac{k_1 k_2}{T_2 p (T_1 p + 1)}}{1 + \frac{k_1 k_2}{T_2 p (T_1 p + 1)} \cdot k_3 p}\] Упростим знаменатель: \[1 + \frac{k_1 k_2 k_3 p}{T_2 p (T_1 p + 1)}\] Сократим \(p\) в числителе и знаменателе второго слагаемого в знаменателе: \[1 + \frac{k_1 k_2 k_3}{T_2 (T_1 p + 1)}\] Приведем к общему знаменателю: \[\frac{T_2 (T_1 p + 1) + k_1 k_2 k_3}{T_2 (T_1 p + 1)}\] Теперь подставим это обратно в формулу для \(W_{замкн}(p)\): \[W_{замкн}(p) = \frac{\frac{k_1 k_2}{T_2 p (T_1 p + 1)}}{\frac{T_2 (T_1 p + 1) + k_1 k_2 k_3}{T_2 (T_1 p + 1)}}\] Сократим \(T_2 (T_1 p + 1)\) в числителе и знаменателе: \[W_{замкн}(p) = \frac{k_1 k_2}{p (T_2 (T_1 p + 1) + k_1 k_2 k_3)}\] Раскроем скобки в знаменателе: \[W_{замкн}(p) = \frac{k_1 k_2}{p (T_1 T_2 p + T_2 + k_1 k_2 k_3)}\] \[W_{замкн}(p) = \frac{k_1 k_2}{T_1 T_2 p^2 + T_2 p + k_1 k_2 k_3 p}\] \[W_{замкн}(p) = \frac{k_1 k_2}{T_1 T_2 p^2 + (T_2 + k_1 k_2 k_3) p}\] Таким образом, передаточная функция замкнутой системы: \[W_{замкн}(p) = \frac{k_1 k_2}{T_1 T_2 p^2 + (T_2 + k_1 k_2 k_3) p}\] Ответ: Передаточная функция разомкнутой системы: \[W_{разомкн}(p) = \frac{k_1 k_2 k_3}{T_1 T_2 p + T_2}\] Передаточная функция замкнутой системы: \[W_{замкн}(p) = \frac{k_1 k_2}{T_1 T_2 p^2 + (T_2 + k_1 k_2 k_3) p}\]