Задача 1
Дана функция: \[y = \frac{1}{2}x^2 + 4x^3 - \frac{1}{x^2} + 3\] Перепишем функцию, используя отрицательные степени для удобства дифференцирования: \[y = \frac{1}{2}x^2 + 4x^3 - x^{-2} + 3\] Теперь найдем производную, используя правило производной суммы/разности и производной степенной функции: \[y' = \left(\frac{1}{2}x^2\right)' + (4x^3)' - (x^{-2})' + (3)'\] \[y' = \frac{1}{2} \cdot 2x^{2-1} + 4 \cdot 3x^{3-1} - (-2)x^{-2-1} + 0\] \[y' = x^1 + 12x^2 + 2x^{-3}\] Окончательный ответ: \[y' = x + 12x^2 + \frac{2}{x^3}\]Задача 2
Дана функция: \[y = 5\sqrt[4]{x} - \frac{2}{3x}\] Перепишем функцию, используя дробные и отрицательные степени: \[y = 5x^{\frac{1}{4}} - \frac{2}{3}x^{-1}\] Теперь найдем производную: \[y' = (5x^{\frac{1}{4}})' - \left(\frac{2}{3}x^{-1}\right)'\] \[y' = 5 \cdot \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} - \frac{2}{3} \cdot (-1)x^{-1-1}\] \[y' = \frac{5}{4}x^{-\frac{3}{4}} + \frac{2}{3}x^{-2}\] Окончательный ответ: \[y' = \frac{5}{4\sqrt[4]{x^3}} + \frac{2}{3x^2}\]Задача 3
Дана функция: \[y = (4x+1)^2 \cdot x\] Здесь у нас произведение двух функций: \(u = (4x+1)^2\) и \(v = x\). Найдем производные \(u'\) и \(v'\): Для \(u = (4x+1)^2\), используем правило производной сложной функции. Пусть \(z = 4x+1\), тогда \(u = z^2\). \(u' = (z^2)' \cdot z' = 2z \cdot (4x+1)' = 2(4x+1) \cdot 4 = 8(4x+1)\). Для \(v = x\), \(v' = 1\). Теперь применим правило производной произведения \((uv)' = u'v + uv'\): \[y' = 8(4x+1) \cdot x + (4x+1)^2 \cdot 1\] \[y' = 8x(4x+1) + (4x+1)^2\] Вынесем общий множитель \((4x+1)\): \[y' = (4x+1) [8x + (4x+1)]\] \[y' = (4x+1) [8x + 4x + 1]\] \[y' = (4x+1)(12x+1)\] Окончательный ответ: \[y' = (4x+1)(12x+1)\]Задача 4
Дана функция: \[y = \frac{5x^4 + 2x^2 - 3}{x^2}\] Мы можем разделить каждый член числителя на \(x^2\), чтобы упростить функцию перед дифференцированием: \[y = \frac{5x^4}{x^2} + \frac{2x^2}{x^2} - \frac{3}{x^2}\] \[y = 5x^2 + 2 - 3x^{-2}\] Теперь найдем производную: \[y' = (5x^2)' + (2)' - (3x^{-2})'\] \[y' = 5 \cdot 2x^{2-1} + 0 - 3 \cdot (-2)x^{-2-1}\] \[y' = 10x + 6x^{-3}\] Окончательный ответ: \[y' = 10x + \frac{6}{x^3}\]Задача 5
Дана функция: \[y = (x^3+3)(2x-1)\] Здесь у нас произведение двух функций: \(u = x^3+3\) и \(v = 2x-1\). Найдем производные \(u'\) и \(v'\): Для \(u = x^3+3\), \(u' = 3x^2\). Для \(v = 2x-1\), \(v' = 2\). Теперь применим правило производной произведения \((uv)' = u'v + uv'\): \[y' = (3x^2)(2x-1) + (x^3+3)(2)\] \[y' = 6x^3 - 3x^2 + 2x^3 + 6\] \[y' = 8x^3 - 3x^2 + 6\] Окончательный ответ: \[y' = 8x^3 - 3x^2 + 6\]Задача 6
Дана функция: \[y = \frac{x}{x^2+1}\] Здесь у нас частное двух функций: \(u = x\) и \(v = x^2+1\). Найдем производные \(u'\) и \(v'\): Для \(u = x\), \(u' = 1\). Для \(v = x^2+1\), \(v' = 2x\). Теперь применим правило производной частного \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\): \[y' = \frac{(1)(x^2+1) - (x)(2x)}{(x^2+1)^2}\] \[y' = \frac{x^2+1 - 2x^2}{(x^2+1)^2}\] \[y' = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}\] Окончательный ответ: \[y' = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}\]Задача 7
Дана функция: \[y = \frac{x^4-4}{x^4+4}\] Здесь у нас частное двух функций: \(u = x^4-4\) и \(v = x^4+4\). Найдем производные \(u'\) и \(v'\): Для \(u = x^4-4\), \(u' = 4x^3\). Для \(v = x^4+4\), \(v' = 4x^3\). Теперь применим правило производной частного \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\): \[y' = \frac{(4x^3)(x^4+4) - (x^4-4)(4x^3)}{(x^4+4)^2}\] Вынесем общий множитель \(4x^3\) из числителя: \[y' = \frac{4x^3[(x^4+4) - (x^4-4)]}{(x^4+4)^2}\] \[y' = \frac{4x^3[x^4+4 - x^4+4]}{(x^4+4)^2}\] \[y' = \frac{4x^3[8]}{(x^4+4)^2}\] \[y' = \frac{32x^3}{(x^4+4)^2}\] Окончательный ответ: \[y' = \frac{32x^3}{(x^4+4)^2}\]Задача 8
Дана функция: \[y = \frac{7x \cdot \sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x}}\] Сначала упростим функцию, переведя все корни в степени и объединив члены с \(x\): \[y = \frac{7x^1 \cdot x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}}\] \[y = 7 \cdot x^{1 + \frac{2}{3} - \frac{1}{2}}\] Найдем показатель степени \(x\): \[1 + \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{6}{6} + \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{6+4-3}{6} = \frac{7}{6}\] Итак, функция упрощается до: \[y = 7x^{\frac{7}{6}}\] Теперь найдем производную: \[y' = \left(7x^{\frac{7}{6}}\right)'\] \[y' = 7 \cdot \frac{7}{6}x^{\frac{7}{6}-1}\] \[y' = \frac{49}{6}x^{\frac{7}{6}-\frac{6}{6}}\] \[y' = \frac{49}{6}x^{\frac{1}{6}}\] Окончательный ответ: \[y' = \frac{49}{6}\sqrt[6]{x}\]Надеюсь, это решение будет удобно для переписывания в тетрадь!