Решение задач:
1) Упростим выражение:
\[ \frac{7^3 \cdot 49}{49^2 \cdot 7^6} \]Сначала представим все числа в виде степени с основанием 7:
\(49 = 7^2\)
Тогда выражение примет вид:
\[ \frac{7^3 \cdot 7^2}{(7^2)^2 \cdot 7^6} \]Используем свойство \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) для знаменателя:
\[ \frac{7^3 \cdot 7^2}{7^{2 \cdot 2} \cdot 7^6} = \frac{7^3 \cdot 7^2}{7^4 \cdot 7^6} \]Используем свойство \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) для числителя и знаменателя:
\[ \frac{7^{3+2}}{7^{4+6}} = \frac{7^5}{7^{10}} \]Используем свойство \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\):
\[ 7^{5-10} = 7^{-5} \]Используем свойство \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\):
\[ \frac{1}{7^5} \]Вычислим \(7^5\):
\(7^5 = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 16807\)
Окончательный ответ:
\[ \frac{1}{16807} \]2) Упростим выражение:
\[ \frac{7^4 \cdot 7}{7^5} \]Представим \(7\) как \(7^1\):
\[ \frac{7^4 \cdot 7^1}{7^5} \]Используем свойство \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) для числителя:
\[ \frac{7^{4+1}}{7^5} = \frac{7^5}{7^5} \]Любое число, деленное на само себя (кроме нуля), равно 1:
\[ 1 \]Окончательный ответ:
\[ 1 \]3) Вычислим выражение:
\[ \frac{4^2}{2^2} + 2^4 \]Сначала вычислим степени:
\(4^2 = 4 \cdot 4 = 16\)
\(2^2 = 2 \cdot 2 = 4\)
\(2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16\)
Подставим значения в выражение:
\[ \frac{16}{4} + 16 \]Выполним деление:
\[ 4 + 16 \]Выполним сложение:
\[ 20 \]Окончательный ответ:
\[ 20 \]4) Вычислим выражение:
\[ \frac{1^5}{2^2} + \frac{3^2}{3^1} \]Сначала вычислим степени:
\(1^5 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1\)
\(2^2 = 2 \cdot 2 = 4\)
\(3^2 = 3 \cdot 3 = 9\)
\(3^1 = 3\)
Подставим значения в выражение:
\[ \frac{1}{4} + \frac{9}{3} \]Выполним деление во второй дроби:
\[ \frac{1}{4} + 3 \]Представим 3 как дробь со знаменателем 4:
\(3 = \frac{3 \cdot 4}{4} = \frac{12}{4}\)
Теперь сложим дроби:
\[ \frac{1}{4} + \frac{12}{4} = \frac{1+12}{4} = \frac{13}{4} \]Можно также представить в виде десятичной дроби или смешанного числа:
\(\frac{13}{4} = 3 \frac{1}{4} = 3.25\)
Окончательный ответ:
\[ \frac{13}{4} \]