Решение задачи: Найти боковую сторону HD трапеции HDMT

Вот решения задач. Задача 23. Найдите боковую сторону HD трапеции HDMT, если углы HDM и DMT равны соответственно \(60^\circ\) и \(135^\circ\), а \(MT = 24\). Решение: 1. Начертим трапецию HDMT. Пусть HD и MT - боковые стороны, HM и DT - основания. 2. Известно, что угол \(HDM = 60^\circ\) и угол \(DMT = 135^\circ\). 3. Проведем высоту из вершины H к основанию DT. Обозначим точку пересечения с DT как K. 4. Проведем высоту из вершины M к основанию DT. Обозначим точку пересечения с DT как P. 5. В прямоугольном треугольнике HDK: \(HK = HD \cdot \sin(HDM) = HD \cdot \sin(60^\circ)\) \(DK = HD \cdot \cos(HDM) = HD \cdot \cos(60^\circ)\) 6. В трапеции HDMT, углы при боковой стороне HD в сумме дают \(180^\circ\), то есть \(HDM + DHM = 180^\circ\). \(DHM = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). 7. Углы при боковой стороне MT в сумме дают \(180^\circ\), то есть \(DMT + MTD = 180^\circ\). \(MTD = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\). 8. Проведем прямую через H, параллельную MT, до пересечения с DT в точке N. Тогда HMTN - параллелограмм, и \(HN = MT = 24\). Угол \(HND = MTD = 45^\circ\) (как соответственные углы при параллельных прямых HM и DT и секущей DN). 9. Рассмотрим треугольник HDN. Угол \(HDN = HDM = 60^\circ\). Угол \(HND = 45^\circ\). Угол \(DHN = 180^\circ - HDN - HND = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ\). 10. Применим теорему синусов к треугольнику HDN: \[ \frac{HD}{\sin(HND)} = \frac{HN}{\sin(HDN)} \] \[ \frac{HD}{\sin(45^\circ)} = \frac{24}{\sin(60^\circ)} \] \[ HD = \frac{24 \cdot \sin(45^\circ)}{\sin(60^\circ)} \] \[ HD = \frac{24 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \] \[ HD = \frac{24 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \] \[ HD = \frac{24 \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3} \] \[ HD = 8 \sqrt{6} \] Ответ: Боковая сторона HD равна \(8\sqrt{6}\). Задача 24. В трапеции TRAM с основаниями TM и RA диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников TOR и AOM равны. Доказательство: 1. Начертим трапецию TRAM с основаниями TM и RA. Диагонали TR и AM пересекаются в точке O. 2. Площадь треугольника TRA и площадь треугольника MRA равны, так как у них общее основание RA и одинаковая высота (расстояние между параллельными прямыми TM и RA). То есть, \(S_{TRA} = S_{MRA}\). 3. Рассмотрим треугольник TRA. Его площадь можно представить как сумму площадей треугольников TOR и AOR: \(S_{TRA} = S_{TOR} + S_{AOR}\). 4. Рассмотрим треугольник MRA. Его площадь можно представить как сумму площадей треугольников AOM и AOR: \(S_{MRA} = S_{AOM} + S_{AOR}\). 5. Так как \(S_{TRA} = S_{MRA}\), то: \(S_{TOR} + S_{AOR} = S_{AOM} + S_{AOR}\). 6. Вычтем \(S_{AOR}\) из обеих частей равенства: \(S_{TOR} = S_{AOM}\). Что и требовалось доказать. Задача 25. Углы при одном из оснований трапеции равны \(54^\circ\) и \(36^\circ\), а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 22 и 10. Найдите основания трапеции. Решение: 1. Пусть трапеция будет ABCD, где AD и BC - основания. 2. Пусть углы при основании AD равны \(A = 54^\circ\) и \(D = 36^\circ\). 3. Пусть M и N - середины боковых сторон AB и CD соответственно. Отрезок MN - средняя линия трапеции. Длина средней линии трапеции равна полусумме оснований: \[ MN = \frac{AD + BC}{2} \] 4. Пусть P и Q - середины оснований AD и BC соответственно. Отрезок PQ соединяет середины оснований. Длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна полуразности оснований: \[ PQ = \frac{|AD - BC|}{2} \] 5. По условию, отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 22 и 10. Значит, \(MN = 22\) и \(PQ = 10\) (или наоборот, но обычно средняя линия больше отрезка между серединами оснований, если углы при основании острые). 6. Из \(MN = 22\): \[ \frac{AD + BC}{2} = 22 \] \[ AD + BC = 44 \quad (1) \] 7. Из \(PQ = 10\): \[ \frac{AD - BC}{2} = 10 \] \[ AD - BC = 20 \quad (2) \] (Предполагаем, что \(AD > BC\), так как углы при основании AD острые, что часто бывает в трапециях, где нижнее основание больше верхнего). 8. Решим систему уравнений (1) и (2): Сложим (1) и (2): \((AD + BC) + (AD - BC) = 44 + 20\) \(2AD = 64\) \(AD = 32\) 9. Подставим \(AD = 32\) в уравнение (1): \(32 + BC = 44\) \(BC = 44 - 32\) \(BC = 12\) 10. Проверим условие про углы. Сумма углов при одном основании \(54^\circ + 36^\circ = 90^\circ\). Если провести прямые, содержащие боковые стороны AB и CD, они пересекутся в точке K. В треугольнике AKD: Угол \(K = 180^\circ - A - D = 180^\circ - 54^\circ - 36^\circ = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\). То есть, треугольник AKD - прямоугольный. В этом случае, отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, равен полусумме оснований. Эти свойства подтверждают, что наши уравнения для AD и BC верны. Ответ: Основания трапеции равны 32 и 12.