МЭШ
Цифровое Домашнее Задание
ЗАДАНИЕ 10
Введите ответ в числовое поле
У исполнителя Квадратор две команды, которым присвоены номера:
1. Возведи в квадрат
2. Прибавь b
(b – неизвестное натуральное число)
Первая из них возводит число на экране во вторую степень, вторая прибавляет к числу b.
Программа для исполнителя – это последовательность номеров команд.
Известно, что программа 12212 переводит число 2 в число 37. Определите значение b.
Решение:
Давайте запишем команды в виде математических операций:
- Команда 1: Возвести в квадрат. Если текущее число X, то после выполнения команды оно станет \(X^2\).
- Команда 2: Прибавить b. Если текущее число X, то после выполнения команды оно станет \(X + b\).
Нам дана программа 12212, которая переводит число 2 в число 37.
Давайте выполним эту программу шаг за шагом, начиная с числа 2.
Начальное число: 2
Шаг 1: Выполняем команду 1 (Возвести в квадрат)
Текущее число: \(2^2 = 4\)
Шаг 2: Выполняем команду 2 (Прибавить b)
Текущее число: \(4 + b\)
Шаг 3: Выполняем команду 2 (Прибавить b)
Текущее число: \((4 + b) + b = 4 + 2b\)
Шаг 4: Выполняем команду 1 (Возвести в квадрат)
Текущее число: \((4 + 2b)^2\)
Шаг 5: Выполняем команду 2 (Прибавить b)
Текущее число: \((4 + 2b)^2 + b\)
По условию задачи, после выполнения всей программы число стало равно 37.
Значит, мы можем составить уравнение:
\[(4 + 2b)^2 + b = 37\]
Теперь решим это уравнение относительно b:
Раскроем квадрат:
\[(4 + 2b)^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot 2b + (2b)^2 = 16 + 16b + 4b^2\]
Подставим это обратно в уравнение:
\[16 + 16b + 4b^2 + b = 37\]
Приведем подобные слагаемые и перенесем 37 в левую часть:
\[4b^2 + 17b + 16 - 37 = 0\]
\[4b^2 + 17b - 21 = 0\]
Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=4\), \(b=17\), \(c=-21\).
Найдем дискриминант \(D\):
\[D = b^2 - 4ac\]
\[D = 17^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-21)\]
\[D = 289 - 16 \cdot (-21)\]
\[D = 289 + 336\]
\[D = 625\]
Теперь найдем корни b:
\[b = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
\[b_1 = \frac{-17 + \sqrt{625}}{2 \cdot 4}\]
\[b_1 = \frac{-17 + 25}{8}\]
\[b_1 = \frac{8}{8}\]
\[b_1 = 1\]
\[b_2 = \frac{-17 - \sqrt{625}}{2 \cdot 4}\]
\[b_2 = \frac{-17 - 25}{8}\]
\[b_2 = \frac{-42}{8}\]
\[b_2 = -5.25\]
По условию задачи, b – неизвестное натуральное число. Натуральные числа - это положительные целые числа (1, 2, 3, ...).
Из двух найденных значений \(b_1 = 1\) и \(b_2 = -5.25\), только \(b_1 = 1\) является натуральным числом.
Проверка:
Начальное число: 2, b = 1
1. Возвести в квадрат: \(2^2 = 4\)
2. Прибавить 1: \(4 + 1 = 5\)
3. Прибавить 1: \(5 + 1 = 6\)
4. Возвести в квадрат: \(6^2 = 36\)
5. Прибавить 1: \(36 + 1 = 37\)
Результат совпадает с условием задачи.
Ответ:
1