Решение задачи 53: Доказательство подобия треугольников

Задание 53. Докажите подобие треугольников, изображенных на рисунке. 1) Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\). 1) \(\angle A = \angle A_1\) (по условию); 2) \(\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{9}{3} = 3\); \(\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{6}{2} = 3\). Значит, \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). 2) Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle KMP\). 1) \(\angle C = \angle M\) (по условию); 2) \(\frac{AC}{KM} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\); \(\frac{BC}{PM} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\). Значит, \(\triangle ABC \sim \triangle KMP\) (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). 3) Рассмотрим \(\triangle DEF\) и \(\triangle PQR\). 1) \(\angle F = \angle R\) (по условию, оба угла прямые, то есть \(90^\circ\)); 2) \(\frac{DF}{QR} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\); \(\frac{EF}{PR} = \frac{3}{8}\). Стороны не пропорциональны. Значит, \(\triangle DEF\) и \(\triangle PQR\) не подобны. 4) Рассмотрим \(\triangle HPL\) и \(\triangle OMN\). 1) \(\angle L = \angle N\) (по условию); 2) \(\frac{HL}{ON} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}\); \(\frac{PL}{MN} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}\). Значит, \(\triangle HPL \sim \triangle OMN\) (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). 5) Рассмотрим \(\triangle KLT\) и \(\triangle MDO\). 1) \(\angle T = \angle D\) (по условию, оба угла прямые, то есть \(90^\circ\)); 2) \(\frac{KT}{MD} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\); \(\frac{LT}{OD} = \frac{8}{15}\). Стороны не пропорциональны. Значит, \(\triangle KLT\) и \(\triangle MDO\) не подобны. 6) Рассмотрим \(\triangle ABD\) и \(\triangle FHS\). 1) \(\angle D = \angle H\) (по условию, оба угла прямые, то есть \(90^\circ\)); 2) \(\frac{AD}{FH} = \frac{7}{10}\); \(\frac{BD}{HS} = \frac{10}{21}\). Стороны не пропорциональны. Значит, \(\triangle ABD\) и \(\triangle FHS\) не подобны.