Задача 6.
Найдите корень уравнения: \(2 - \lg(10 - x) = 0\).
Решение:
1. Перенесем \(\lg(10 - x)\) в правую часть уравнения:
\[2 = \lg(10 - x)\]2. Вспомним, что \(\lg\) - это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Значит, \(2 = \log_{10}(10 - x)\).
3. По определению логарифма, если \(\log_a b = c\), то \(a^c = b\). Применим это к нашему уравнению:
\[10^2 = 10 - x\]4. Вычислим \(10^2\):
\[100 = 10 - x\]5. Перенесем \(10\) в левую часть уравнения:
\[100 - 10 = -x\] \[90 = -x\]6. Умножим обе части уравнения на \(-1\), чтобы найти \(x\):
\[x = -90\]7. Проверим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма. Выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля:
\[10 - x > 0\] \[10 > x\] \[x < 10\]Наш корень \(x = -90\) удовлетворяет условию \(x < 10\).
Ответ: \(-90\)
Задача 7.
Найдите корень уравнения \(7^{\log_{49} (6x - 6)} = 6\).
Решение:
1. Вспомним свойство логарифмов: \(\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b\). В нашем случае \(49 = 7^2\), поэтому:
\[\log_{49} (6x - 6) = \log_{7^2} (6x - 6) = \frac{1}{2} \log_7 (6x - 6)\]2. Подставим это выражение обратно в уравнение:
\[7^{\frac{1}{2} \log_7 (6x - 6)} = 6\]3. Вспомним свойство степеней: \(a^{bc} = (a^b)^c\). Применим его:
\[(7^{\log_7 (6x - 6)})^{\frac{1}{2}} = 6\]4. Вспомним основное логарифмическое тождество: \(a^{\log_a b} = b\). Применим его:
\[(6x - 6)^{\frac{1}{2}} = 6\]5. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от степени \(\frac{1}{2}\) (корень квадратный):
\[((6x - 6)^{\frac{1}{2}})^2 = 6^2\] \[6x - 6 = 36\]6. Перенесем \(-6\) в правую часть уравнения:
\[6x = 36 + 6\] \[6x = 42\]7. Разделим обе части уравнения на \(6\):
\[x = \frac{42}{6}\] \[x = 7\]8. Проверим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма. Выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля:
\[6x - 6 > 0\] \[6x > 6\] \[x > 1\]Наш корень \(x = 7\) удовлетворяет условию \(x > 1\).
Ответ: \(7\)
Задача 8.
Решите уравнение: \(\log_4 \log_2 \left(\frac{1}{x}\right) = 1\).
Решение:
1. По определению логарифма, если \(\log_a b = c\), то \(a^c = b\). Применим это к внешнему логарифму (по основанию 4):
\[\log_2 \left(\frac{1}{x}\right) = 4^1\] \[\log_2 \left(\frac{1}{x}\right) = 4\]2. Снова применим определение логарифма, теперь к логарифму по основанию 2:
\[\frac{1}{x} = 2^4\]3. Вычислим \(2^4\):
\[\frac{1}{x} = 16\]4. Чтобы найти \(x\), можно представить \(16\) как \(\frac{16}{1}\) и перевернуть обе дроби, или умножить обе части на \(x\) и затем разделить на \(16\):
\[1 = 16x\] \[x = \frac{1}{16}\]5. Проверим область допустимых значений (ОДЗ).
а) Выражение под внутренним логарифмом должно быть строго больше нуля:
\[\frac{1}{x} > 0\]Это означает, что \(x > 0\).
б) Выражение под внешним логарифмом (то есть \(\log_2 \left(\frac{1}{x}\right)\)) также должно быть строго больше нуля:
\[\log_2 \left(\frac{1}{x}\right) > 0\]Поскольку основание логарифма \(2 > 1\), то для того, чтобы логарифм был больше нуля, его аргумент должен быть больше единицы:
\[\frac{1}{x} > 1\]Так как мы уже знаем, что \(x > 0\), мы можем умножить обе части неравенства на \(x\), не меняя знак неравенства:
\[1 > x\] \[x < 1\]Таким образом, ОДЗ: \(0 < x < 1\).
Наш корень \(x = \frac{1}{16}\) удовлетворяет условию \(0 < x < 1\), так как \(\frac{1}{16}\) находится между \(0\) и \(1\).
Ответ: \(\frac{1}{16}\)
Задача 9.
Найдите корень уравнения \(\log_4 (2x - 1) = \log_4 (x + 3) - 1\).
Решение:
1. Перенесем все логарифмы в одну сторону уравнения. Удобнее перенести \(\log_4 (x + 3)\) в левую часть:
\[\log_4 (2x - 1) - \log_4 (x + 3) = -1\]2. Вспомним свойство логарифмов: \(\log_a b - \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right)\). Применим его:
\[\log_4 \left(\frac{2x - 1}{x + 3}\right) = -1\]3. По определению логарифма, если \(\log_a b = c\), то \(a^c = b\). Применим это:
\[\frac{2x - 1}{x + 3} = 4^{-1}\]4. Вычислим \(4^{-1}\):
\[\frac{2x - 1}{x + 3} = \frac{1}{4}\]5. Решим это пропорциональное уравнение, умножив крест-на-крест:
\[4(2x - 1) = 1(x + 3)\] \[8x - 4 = x + 3\]6. Перенесем члены с \(x\) в левую часть, а константы в правую:
\[8x - x = 3 + 4\] \[7x = 7\]7. Разделим обе части уравнения на \(7\):
\[x = 1\]8. Проверим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмов. Выражения под логарифмами должны быть строго больше нуля:
а) \(2x - 1 > 0\)
\[2x > 1\] \[x > \frac{1}{2}\]б) \(x + 3 > 0\)
\[x > -3\]Оба условия должны выполняться, поэтому ОДЗ: \(x > \frac{1}{2}\).
Наш корень \(x = 1\) удовлетворяет условию \(x > \frac{1}{2}\).
Ответ: \(1\)