Решение: Контрольная работа. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА РЕШИТЬ ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ: 1. \(2^{x^2-7x+10} = 1\) Решение: Поскольку \(1 = 2^0\), то уравнение можно переписать как: \(2^{x^2-7x+10} = 2^0\) Основания равны, значит, показатели степени тоже равны: \(x^2 - 7x + 10 = 0\) Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта или теоремы Виета. По теореме Виета: Сумма корней \(x_1 + x_2 = 7\) Произведение корней \(x_1 \cdot x_2 = 10\) Подходящие числа: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 5\). Проверка: \(2+5=7\), \(2 \cdot 5 = 10\). Ответ: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 5\). 2. \(0.5^x = 4^{x+1}\) Решение: Переведем все основания к одному числу, например, к 2. \(0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}\) \(4 = 2^2\) Подставим это в уравнение: \((2^{-1})^x = (2^2)^{x+1}\) Используем свойство \((a^m)^n = a^{mn}\): \(2^{-x} = 2^{2(x+1)}\) \(2^{-x} = 2^{2x+2}\) Основания равны, значит, показатели степени тоже равны: \(-x = 2x + 2\) Перенесем \(x\) в одну сторону, числа в другую: \(-x - 2x = 2\) \(-3x = 2\) \(x = -\frac{2}{3}\) Ответ: \(x = -\frac{2}{3}\). 3. \(2^{x+1} + 2^{x-1} - 3^x = 3^{x-2} - 2^{x-3} + 2 \cdot 3^{x-3}\) Решение: Сгруппируем члены с одинаковыми основаниями. Перенесем все члены с основанием 2 в левую часть, а с основанием 3 в правую часть. \(2^{x+1} + 2^{x-1} + 2^{x-3} = 3^{x-2} + 2 \cdot 3^{x-3} + 3^x\) Вынесем общие множители: В левой части вынесем \(2^{x-3}\): \(2^{x-3} \cdot (2^{(x+1)-(x-3)} + 2^{(x-1)-(x-3)} + 1) = 3^{x-2} + 2 \cdot 3^{x-3} + 3^x\) \(2^{x-3} \cdot (2^4 + 2^2 + 1) = 3^{x-2} + 2 \cdot 3^{x-3} + 3^x\) \(2^{x-3} \cdot (16 + 4 + 1) = 3^{x-2} + 2 \cdot 3^{x-3} + 3^x\) \(2^{x-3} \cdot 21 = 3^{x-2} + 2 \cdot 3^{x-3} + 3^x\) В правой части вынесем \(3^{x-3}\): \(2^{x-3} \cdot 21 = 3^{x-3} \cdot (3^{(x-2)-(x-3)} + 2 + 3^{x-(x-3)})\) \(2^{x-3} \cdot 21 = 3^{x-3} \cdot (3^1 + 2 + 3^3)\) \(2^{x-3} \cdot 21 = 3^{x-3} \cdot (3 + 2 + 27)\) \(2^{x-3} \cdot 21 = 3^{x-3} \cdot 32\) Разделим обе части на \(3^{x-3}\) (поскольку \(3^{x-3} \neq 0\)) и на 21: \(\frac{2^{x-3}}{3^{x-3}} = \frac{32}{21}\) \(\left(\frac{2}{3}\right)^{x-3} = \frac{32}{21}\) Это уравнение не имеет простого решения в целых числах. Возможно, в условии задачи есть опечатка, или предполагается использование логарифмов. Если это так, то: \(x-3 = \log_{\frac{2}{3}}\left(\frac{32}{21}\right)\) \(x = 3 + \log_{\frac{2}{3}}\left(\frac{32}{21}\right)\) Если же предполагалось, что правая часть должна быть степенью \(\frac{2}{3}\), то это не так. Давайте перепроверим условие. \(2^{x+1} + 2^{x-1} - 3^x = 3^{x-2} - 2^{x-3} + 2 \cdot 3^{x-3}\) Перенесем все члены с основанием 2 в левую часть, а с основанием 3 в правую часть: \(2^{x+1} + 2^{x-1} + 2^{x-3} = 3^{x-2} + 2 \cdot 3^{x-3} + 3^x\) Вынесем \(2^{x-3}\) из левой части: \(2^{x-3} (2^4 + 2^2 + 1) = 2^{x-3} (16 + 4 + 1) = 2^{x-3} \cdot 21\) Вынесем \(3^{x-3}\) из правой части: \(3^{x-3} (3^1 + 2 + 3^3) = 3^{x-3} (3 + 2 + 27) = 3^{x-3} \cdot 32\) Итак, мы получили: \(21 \cdot 2^{x-3} = 32 \cdot 3^{x-3}\) \(\frac{2^{x-3}}{3^{x-3}} = \frac{32}{21}\) \(\left(\frac{2}{3}\right)^{x-3} = \frac{32}{21}\) Это окончательный вид. Если требуется численное значение, то: \(x-3 = \frac{\ln(32/21)}{\ln(2/3)}\) \(x = 3 + \frac{\ln(32/21)}{\ln(2/3)}\) Ответ: \(x = 3 + \log_{\frac{2}{3}}\left(\frac{32}{21}\right)\). 4. РЕШИТЬ ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА: 1. \(2^{2x-1} + 2^{2x-1} + 2^{2x-3} \ge 448\) Решение: Сложим первые два члена: \(2 \cdot 2^{2x-1} + 2^{2x-3} \ge 448\) \(2^{1} \cdot 2^{2x-1} + 2^{2x-3} \ge 448\) \(2^{1+2x-1} + 2^{2x-3} \ge 448\) \(2^{2x} + 2^{2x-3} \ge 448\) Вынесем \(2^{2x-3}\) за скобки: \(2^{2x-3} \cdot (2^{2x-(2x-3)} + 1) \ge 448\) \(2^{2x-3} \cdot (2^3 + 1) \ge 448\) \(2^{2x-3} \cdot (8 + 1) \ge 448\) \(2^{2x-3} \cdot 9 \ge 448\) Разделим обе части на 9: \(2^{2x-3} \ge \frac{448}{9}\) \(\frac{448}{9} \approx 49.77\) Мы знаем, что \(2^5 = 32\), \(2^6 = 64\). Так как \(2^{2x-3}\) - возрастающая функция, то: \(2x-3 \ge \log_2\left(\frac{448}{9}\right)\) \(2x \ge 3 + \log_2\left(\frac{448}{9}\right)\) \(x \ge \frac{1}{2}\left(3 + \log_2\left(\frac{448}{9}\right)\right)\) Если нужно приближенное значение: \(\log_2\left(\frac{448}{9}\right) \approx \log_2(49.77) \approx 5.63\) \(x \ge \frac{1}{2}(3 + 5.63)\) \(x \ge \frac{1}{2}(8.63)\) \(x \ge 4.315\) Ответ: \(x \ge \frac{1}{2}\left(3 + \log_2\left(\frac{448}{9}\right)\right)\). 2. \(\left(\frac{13}{11}\right)^{x^2-3x} < \frac{121}{169}\) Решение: Заметим, что \(\frac{121}{169} = \frac{11^2}{13^2} = \left(\frac{11}{13}\right)^2 = \left(\frac{13}{11}\right)^{-2}\). Подставим это в неравенство: \(\left(\frac{13}{11}\right)^{x^2-3x} < \left(\frac{13}{11}\right)^{-2}\) Основание \(\frac{13}{11} > 1\), поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется при сравнении показателей: \(x^2 - 3x < -2\) Перенесем -2 в левую часть: \(x^2 - 3x + 2 < 0\) Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 3x + 2 = 0\). По теореме Виета: Сумма корней \(x_1 + x_2 = 3\) Произведение корней \(x_1 \cdot x_2 = 2\) Корни: \(x_1 = 1\), \(x_2 = 2\). Парабола \(y = x^2 - 3x + 2\) ветвями направлена вверх. Неравенство \(x^2 - 3x + 2 < 0\) выполняется между корнями. Ответ: \(1 < x < 2\). 3. \(5^{2x+1} + 4 \cdot 5^x - 1 > 0\) Решение: Перепишем \(5^{2x+1}\) как \(5^{2x} \cdot 5^1 = 5 \cdot (5^x)^2\). Пусть \(t = 5^x\). Так как \(5^x > 0\), то \(t > 0\). Неравенство примет вид: \(5t^2 + 4t - 1 > 0\) Найдем корни квадратного уравнения \(5t^2 + 4t - 1 = 0\). Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36\). \(t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 \pm 6}{10}\) \(t_1 = \frac{-4 - 6}{10} = \frac{-10}{10} = -1\) \(t_2 = \frac{-4 + 6}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}\) Парабола \(y = 5t^2 + 4t - 1\) ветвями направлена вверх. Неравенство \(5t^2 + 4t - 1 > 0\) выполняется вне корней: \(t < -1\) или \(t > \frac{1}{5}\). Вспомним, что \(t = 5^x\) и \(t > 0\). Условие \(t < -1\) не имеет решений, так как \(5^x\) всегда положительно. Остается \(t > \frac{1}{5}\). Подставим \(t = 5^x\): \(5^x > \frac{1}{5}\) \(5^x > 5^{-1}\) Основание \(5 > 1\), поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется при сравнении показателей: \(x > -1\) Ответ: \(x > -1\). РЕШИТЬ СИСТЕМУ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: 1. \[ \begin{cases} x + 2y = 3 \\ 3^{x-y} = 81 \end{cases} \] Решение: Из второго уравнения: \(3^{x-y} = 81\) \(3^{x-y} = 3^4\) Показатели равны: \(x - y = 4\) Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: \[ \begin{cases} x + 2y = 3 \\ x - y = 4 \end{cases} \] Выразим \(x\) из второго уравнения: \(x = y + 4\). Подставим это в первое уравнение: \((y + 4) + 2y = 3\) \(3y + 4 = 3\) \(3y = 3 - 4\) \(3y = -1\) \(y = -\frac{1}{3}\) Теперь найдем \(x\): \(x = y + 4 = -\frac{1}{3} + 4 = -\frac{1}{3} + \frac{12}{3} = \frac{11}{3}\) Ответ: \(\left(\frac{11}{3}; -\frac{1}{3}\right)\). РЕШИТЬ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ: 1. \(\log_{\sqrt{3}}(x-2) \log_5 x = 2 \log_3 (x-2)\) Решение: ОДЗ (область допустимых значений): Аргументы логарифмов должны быть положительными: \(x-2 > 0 \Rightarrow x > 2\) \(x > 0\) Пересечение этих условий: \(x > 2\). Преобразуем логарифмы к одному основанию, например, к 3. \(\log_{\sqrt{3}}(x-2) = \log_{3^{1/2}}(x-2) = \frac{1}{1/2} \log_3(x-2) = 2 \log_3(x-2)\) Подставим это в уравнение: \(2 \log_3(x-2) \log_5 x = 2 \log_3 (x-2)\) Перенесем все члены в одну сторону: \(2 \log_3(x-2) \log_5 x - 2 \log_3 (x-2) = 0\) Вынесем общий множитель \(2 \log_3(x-2)\): \(2 \log_3(x-2) (\log_5 x - 1) = 0\) Это уравнение распадается на два случая: Случай 1: \(2 \log_3(x-2) = 0\) \(\log_3(x-2) = 0\) \(x-2 = 3^0\) \(x-2 = 1\) \(x = 3\) Прове