Решение задачи по биологии: Вероятность вопроса по ботанике

Хорошо, давайте разберем задачи по порядку. Вариант 4 Теоретические вопросы: 1. Синтетические признаки при анализе данных 2. Геометрическое определение вероятности 3. Статистические критерии Практические задачи: 285926 В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по теме «Ботаника». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Ботаника». Решение: Общее количество билетов: \(N = 55\). Количество билетов с вопросом по теме «Ботаника»: \(M = 11\). Вероятность того, что школьнику достанется вопрос по теме «Ботаника», находится как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов: \[P = \frac{M}{N}\] \[P = \frac{11}{55}\] \[P = \frac{1}{5}\] \[P = 0.2\] Ответ: \(0.2\) 285927 В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по теме «Неравенства». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по теме «Неравенства». Решение: Общее количество билетов: \(N = 25\). Количество билетов с вопросом по теме «Неравенства»: \(M = 10\). Количество билетов без вопроса по теме «Неравенства»: \(N - M = 25 - 10 = 15\). Вероятность того, что школьнику не достанется вопрос по теме «Неравенства», находится как отношение числа билетов без этого вопроса к общему числу билетов: \[P = \frac{N - M}{N}\] \[P = \frac{15}{25}\] \[P = \frac{3}{5}\] \[P = 0.6\] Ответ: \(0.6\) 285928 На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая. Решение: Общее количество спортсменов: \(N = 25\). Количество прыгунов из Парагвая: \(M = 8\). Поскольку порядок выступлений определяется жеребьёвкой, каждый спортсмен имеет равные шансы выступить под любым номером. Вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая, равна отношению числа прыгунов из Парагвая к общему числу спортсменов. Позиция (шестая) не влияет на эту вероятность, так как выбор случаен для каждой позиции. \[P = \frac{M}{N}\] \[P = \frac{8}{25}\] \[P = 0.32\] Ответ: \(0.32\) 320169 Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя. Решение: Общее количество участников: \(N = 4\) (Вася, Петя, Коля, Лёша). Количество благоприятных исходов (Петя начинает игру): \(M = 1\). Вероятность того, что Петя начнет игру, находится как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов: \[P = \frac{M}{N}\] \[P = \frac{1}{4}\] \[P = 0.25\] Ответ: \(0.25\) 320170 В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе? Решение: Общее количество команд: \(N = 16\). Количество групп: 4. Количество команд в каждой группе: 4. Карточек с номером «2» (вторая группа) всего 4. Вероятность того, что команда России окажется во второй группе, равна отношению числа карточек с номером «2» к общему числу карточек (команд): \[P = \frac{\text{Количество карточек с номером 2}}{\text{Общее количество карточек}}\] \[P = \frac{4}{16}\] \[P = \frac{1}{4}\] \[P = 0.25\] Ответ: \(0.25\) 320180 Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся. Решение: Обозначим события: \(П\) — Джон взял пристрелянный револьвер. \(Н\) — Джон взял непристрелянный револьвер. \(А\) — Джон попал в муху. \(\bar{А}\) — Джон промахнулся. Вероятность взять пристрелянный револьвер: \[P(П) = \frac{4}{10} = 0.4\] Вероятность взять непристрелянный револьвер: \[P(Н) = \frac{10 - 4}{10} = \frac{6}{10} = 0.6\] Условные вероятности попадания: \(P(А|П) = 0.9\) (попадает из пристрелянного) \(P(А|Н) = 0.2\) (попадает из непристрелянного) Условные вероятности промаха: \(P(\bar{А}|П) = 1 - P(А|П) = 1 - 0.9 = 0.1\) (промахнется из пристрелянного) \(P(\bar{А}|Н) = 1 - P(А|Н) = 1 - 0.2 = 0.8\) (промахнется из непристрелянного) Вероятность того, что Джон промахнётся, можно найти по формуле полной вероятности: \[P(\bar{А}) = P(\bar{А}|П) \cdot P(П) + P(\bar{А}|Н) \cdot P(Н)\] \[P(\bar{А}) = 0.1 \cdot 0.4 + 0.8 \cdot 0.6\] \[P(\bar{А}) = 0.04 + 0.48\] \[P(\bar{А}) = 0.52\] Ответ: \(0.52\) 320211 Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля. Решение: Обозначим события: \(Н\) — батарейка неисправна. \(И\) — батарейка исправна. \(З\) — батарейка забракована системой контроля. Дано: Вероятность того, что батарейка неисправна: \(P(Н) = 0.02\). Вероятность того, что батарейка исправна: \(P(И) = 1 - P(Н) = 1 - 0.02 = 0.98\). Условные вероятности забраковки: Система забракует неисправную батарейку: \(P(З|Н) = 0.99\). Система по ошибке забракует исправную батарейку: \(P(З|И) = 0.01\). Вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована, находится по формуле полной вероятности: \[P(З) = P(З|Н) \cdot P(Н) + P(З|И) \cdot P(И)\] \[P(З) = 0.99 \cdot 0.02 + 0.01 \cdot 0.98\] \[P(З) = 0.0198 + 0.0098\] \[P(З) = 0.0296\] Ответ: \(0.0296\) 320172 В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Решение: Обозначим события: \(А_1\) — кофе закончится в первом автомате. \(А_2\) — кофе закончится во втором автомате. Дано: Вероятность того, что кофе закончится в первом автомате: \(P(А_1) = 0.3\). Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате: \(P(А_2) = 0.3\) (так как автоматы одинаковые). Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах: \(P(А_1 \cap А_2) = 0.12\). Нам нужно найти вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах. Это событие является дополнением к событию, что кофе закончится хотя бы в одном автомате. Событие «кофе закончится хотя бы в одном автомате» обозначается как \(А_1 \cup А_2\). Вероятность этого события: \[P(А_1 \cup А_2) = P(А_1) + P(А_2) - P(А_1 \cap А_2)\] \[P(А_1 \cup А_2) = 0.3 + 0.3 - 0.12\] \[P(А_1 \cup А_2) = 0.6 - 0.12\] \[P(А_1 \cup А_2) = 0.48\] Событие «кофе останется в обоих автоматах» является дополнением к событию «кофе закончится хотя бы в одном автомате». Обозначим событие «кофе останется в первом автомате» как \(\bar{А_1}\), а «кофе останется во втором автомате» как \(\bar{А_2}\). Тогда событие «кофе останется в обоих автоматах» это \(\bar{А_1} \cap \bar{А_2}\). По законам де Моргана, \(\bar{А_1} \cap \bar{А_2} = \overline{А_1 \cup А_2}\). Следовательно, вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах: \[P(\bar{А_1} \cap \bar{А_2}) = 1 - P(А_1 \cup А_2)\] \[P(\bar{А_1} \cap \bar{А_2}) = 1 - 0.48\] \[P(\bar{А_1} \cap \bar{А_2}) = 0.52\] Ответ: \(0.52\) 320203 Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19. Решение: Обозначим события: \(А\) — в автобусе окажется меньше 20 пассажиров (т.е. от 0 до 19). \(В\) — в автобусе окажется меньше 15 пассажиров (т.е. от 0 до 14). Дано: \(P(А) = 0.94\) (вероятность, что пассажиров от 0 до 19). \(P(В) = 0.56\) (вероятность, что пассажиров от 0 до 14). Нам нужно найти вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19 включительно. Это событие соответствует разности событий \(А\) и \(В\), то есть \(А \setminus В\). Если событие \(В\) является подмножеством события \(А\) (что в данном случае верно, так как «меньше 15» подразумевает «меньше 20»), то вероятность разности событий равна: \[P(А \setminus В) = P(А) - P(В)\] \[P(А \setminus В) = 0.94 - 0.56\] \[P(А \setminus В) = 0.38\] Ответ: \(0.38\) 320198 Вероятность того, что на тестировании по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач. Решение: Обозначим события: \(А\) — учащийся О. верно решит больше 11 задач (т.е. 12, 13, ... задач). \(В\) — учащийся О. верно решит больше 10 задач (т.е. 11, 12, 13, ... задач). Дано: \(P(А) = 0.67\) (вероятность решить 12 или более задач). \(P(В) = 0.74\) (вероятность решить 11 или более задач). Нам нужно найти вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач. Событие «решит ровно 11 задач» является разностью между событием «решит больше 10 задач» и событием «решит больше 11 задач». То есть, если из всех случаев, когда он решил 11 или более задач, мы исключим случаи, когда он решил 12 или более задач, то останутся только случаи, когда он решил ровно 11 задач. \[P(\text{ровно 11 задач}) = P(В) - P(А)\] \[P(\text{ровно 11 задач}) = 0.74 - 0.67\] \[P(\text{ровно 11 задач}) = 0.07\] Ответ: \(0.07\)