Задание: Решите уравнения и найдите сумму их корней.
Уравнение 1:
\[\left|x + \frac{(5^2)^3 \cdot 5}{(-25)^2}\right| = \frac{13^5 \cdot 13^4}{169^4}\]
Решение Уравнения 1:
1. Упростим левую часть уравнения (выражение внутри модуля):
Числитель: \((5^2)^3 \cdot 5 = 5^{2 \cdot 3} \cdot 5^1 = 5^6 \cdot 5^1 = 5^{6+1} = 5^7\)
Знаменатель: \((-25)^2 = (-(5^2))^2 = (5^2)^2 = 5^{2 \cdot 2} = 5^4\)
Дробь: \(\frac{5^7}{5^4} = 5^{7-4} = 5^3 = 125\)
Левая часть становится: \(|x + 125|\)
2. Упростим правую часть уравнения:
Числитель: \(13^5 \cdot 13^4 = 13^{5+4} = 13^9\)
Знаменатель: \(169^4\). Заметим, что \(169 = 13^2\). Тогда \(169^4 = (13^2)^4 = 13^{2 \cdot 4} = 13^8\)
Дробь: \(\frac{13^9}{13^8} = 13^{9-8} = 13^1 = 13\)
Правая часть становится: \(13\)
3. Получаем уравнение с модулем:
\[|x + 125| = 13\]
Это уравнение имеет два решения:
а) \(x + 125 = 13\)
\(x_1 = 13 - 125\)
\(x_1 = -112\)
б) \(x + 125 = -13\)
\(x_2 = -13 - 125\)
\(x_2 = -138\)
Корни Уравнения 1: \(x_1 = -112\), \(x_2 = -138\)
Уравнение 2:
\[\left|x + \frac{(3^4)^3 \cdot 3}{9^6}\right| = \frac{8^7 \cdot 8^8}{64^7}\]
Решение Уравнения 2:
1. Упростим левую часть уравнения (выражение внутри модуля):
Числитель: \((3^4)^3 \cdot 3 = 3^{4 \cdot 3} \cdot 3^1 = 3^{12} \cdot 3^1 = 3^{12+1} = 3^{13}\)
Знаменатель: \(9^6\). Заметим, что \(9 = 3^2\). Тогда \(9^6 = (3^2)^6 = 3^{2 \cdot 6} = 3^{12}\)
Дробь: \(\frac{3^{13}}{3^{12}} = 3^{13-12} = 3^1 = 3\)
Левая часть становится: \(|x + 3|\)
2. Упростим правую часть уравнения:
Числитель: \(8^7 \cdot 8^8 = 8^{7+8} = 8^{15}\)
Знаменатель: \(64^7\). Заметим, что \(64 = 8^2\). Тогда \(64^7 = (8^2)^7 = 8^{2 \cdot 7} = 8^{14}\)
Дробь: \(\frac{8^{15}}{8^{14}} = 8^{15-14} = 8^1 = 8\)
Правая часть становится: \(8\)
3. Получаем уравнение с модулем:
\[|x + 3| = 8\]
Это уравнение имеет два решения:
а) \(x + 3 = 8\)
\(x_3 = 8 - 3\)
\(x_3 = 5\)
б) \(x + 3 = -8\)
\(x_4 = -8 - 3\)
\(x_4 = -11\)
Корни Уравнения 2: \(x_3 = 5\), \(x_4 = -11\)
Находим сумму всех корней:
Сумма корней = \(x_1 + x_2 + x_3 + x_4\)
Сумма корней = \((-112) + (-138) + 5 + (-11)\)
Сумма корней = \(-112 - 138 + 5 - 11\)
Сумма корней = \(-250 + 5 - 11\)
Сумма корней = \(-245 - 11\)
Сумма корней = \(-256\)
Ответ: -256